证明:A,B为n阶矩阵,I-AB可逆,则I-BA可逆设C为I-AB的逆矩阵,I-BA=I-B((I-AB)C)A=……这样接着证下去,我曾经问过,回答是:不妨设A中每个元素为Axy,B中每个元素为Byx,则AB为Cxy=EAxuBuy(E表示累加u=1~n),BA
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 06:45:27
![证明:A,B为n阶矩阵,I-AB可逆,则I-BA可逆设C为I-AB的逆矩阵,I-BA=I-B((I-AB)C)A=……这样接着证下去,我曾经问过,回答是:不妨设A中每个元素为Axy,B中每个元素为Byx,则AB为Cxy=EAxuBuy(E表示累加u=1~n),BA](/uploads/image/z/1056245-5-5.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9AA%2CB%E4%B8%BAn%E9%98%B6%E7%9F%A9%E9%98%B5%2CI-AB%E5%8F%AF%E9%80%86%2C%E5%88%99I-BA%E5%8F%AF%E9%80%86%E8%AE%BEC%E4%B8%BAI-AB%E7%9A%84%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5%2CI-BA%3DI-B%28%28I-AB%29C%29A%3D%E2%80%A6%E2%80%A6%E8%BF%99%E6%A0%B7%E6%8E%A5%E7%9D%80%E8%AF%81%E4%B8%8B%E5%8E%BB%2C%E6%88%91%E6%9B%BE%E7%BB%8F%E9%97%AE%E8%BF%87%2C%E5%9B%9E%E7%AD%94%E6%98%AF%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%A6%A8%E8%AE%BEA%E4%B8%AD%E6%AF%8F%E4%B8%AA%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%B8%BAAxy%2CB%E4%B8%AD%E6%AF%8F%E4%B8%AA%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%B8%BAByx%2C%E5%88%99AB%E4%B8%BACxy%3DEAxuBuy%EF%BC%88E%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%B4%AF%E5%8A%A0u%3D1%7En%EF%BC%89%2CBA)
证明:A,B为n阶矩阵,I-AB可逆,则I-BA可逆设C为I-AB的逆矩阵,I-BA=I-B((I-AB)C)A=……这样接着证下去,我曾经问过,回答是:不妨设A中每个元素为Axy,B中每个元素为Byx,则AB为Cxy=EAxuBuy(E表示累加u=1~n),BA
证明:A,B为n阶矩阵,I-AB可逆,则I-BA可逆
设C为I-AB的逆矩阵,I-BA=I-B((I-AB)C)A=……
这样接着证下去,
我曾经问过,回答是:不妨设A中每个元素为Axy,B中每个元素为Byx,则AB为Cxy=EAxuBuy(E表示累加u=1~n),BA为Dxy=EBxvAvy(E,表示累加v=1~n),若1-AB可逆则【1-AB】不为0,又因为1是一个单位矩阵,观察易知对角线上(1-AB)与(1-BA)是一样的,而,对角线两旁的元素是对称的,若使用矩阵行列变化可发现是两个相同的矩阵,如是得1-BA是可逆的.换种答法
没有说到A,B是否可逆
条件是A,B为n阶矩阵,I-AB可逆,
证明I-BA可逆
证明:A,B为n阶矩阵,I-AB可逆,则I-BA可逆设C为I-AB的逆矩阵,I-BA=I-B((I-AB)C)A=……这样接着证下去,我曾经问过,回答是:不妨设A中每个元素为Axy,B中每个元素为Byx,则AB为Cxy=EAxuBuy(E表示累加u=1~n),BA
A,B可逆吗?
如果B可逆,我能证明BCB^(-1)是I-BA的逆阵
反例:
A=
(1 0)
(1 0)
B=
(0.5 0.5)
( 0 0 )
则可证明I-AB可逆,而I-BA不可逆
因为I-AB可逆,所以(I-AB)(I-AB)^(-1)=I
即(I-AB)^(-1)-AB(I-AB)^(-1)=I
B(I-AB)^(-1)-BAB(I-AB)^(-1)=B
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)]=B
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)]A=BA
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)A]-I=BA-I
(I-BA)[I-B(I-AB)^(-1)A]=I
故I-BA也可逆,且(I-BA)^(-1)=I-B(I-AB)^(-1)A
只能证明I-AB可逆,而I-BA不可逆
谢谢
假设I-BA不可逆,则存在x0不等于0,且(I-BA)x0=0
所以A(I-BA)x0=(I-AB)Ax0=0
因为I-AB可逆,所以得Ax0=0
那么(I-BA)x0=x0-BAx0=x0不等于0,与上矛盾
所以命题成立