已知两个正三棱锥有公共底面,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上,若这两个正三棱锥的侧棱之比√3 :1则这两个三棱锥的公共底面的面积与该球的表面之比为多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 11:43:59
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已知两个正三棱锥有公共底面,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上,若这两个正三棱锥的侧棱之比√3 :1则这两个三棱锥的公共底面的面积与该球的表面之比为多少?
已知两个正三棱锥有公共底面,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上,若这两个正三棱锥的侧棱之比√3 :1
则这两个三棱锥的公共底面的面积与该球的表面之比为多少?
已知两个正三棱锥有公共底面,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上,若这两个正三棱锥的侧棱之比√3 :1则这两个三棱锥的公共底面的面积与该球的表面之比为多少?
设两个正三棱锥分别为A-BCD;A'-BCD
BCD的中心为O', 外接球半径为R,球心为O
则AA'直径,∴ AB⊥A'B
∵两个正三棱锥的侧棱之比√3 : 1
不妨设AB:A'B=√3:1 ,令比的每一份为t
∴由勾股定理得 AA'=2R=2t
∴BO'⊥AA,BO'=AB×A'B/AA'=√3t×t/(2t)=√3t/2
∴BD=BO'/(√3/3)=√3BO'=3t/2
∴SΔBCD=√3/4×BD²=9√3/16t²
∵球的表面积=4πR²=4πt²
∴SΔBCD/S球面=(9√3/16t²)/(4πt²)=9√3/(64π)
这两个三棱锥的公共底面的面积与该球的表
面之比为9√3/(64π)
如图所示,设球的半径=R,BF=m 则,BD=√3m,BD²=DE×DF,BF²=FE×FD 即,3m²=2R×(R+OE),m²=2R×(R-OE), 所以,OE=R/2 Rt△BEO中, BE=(√3/2)×R,AB=2BE×sin60°=3R/2 S△ABC=1/2×AB²×sin60°=(9√3/16)×R² 球的表面积=4πR² 所以,S△ABC:S球=9√3:64π 图传不上去,你可以去我的空间看