高数中一元定积分求平面图形面积的疑问比如计算函数y^2=x和y=x^2在[0.1]上围城的面积.为什么要把一小段△x对应的矩形面积用dA(dA=f(ξ)dx,ξ∈[x,x+△x])来表示?就是说dA为什么等于[x,x+△x]
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 00:11:30
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高数中一元定积分求平面图形面积的疑问比如计算函数y^2=x和y=x^2在[0.1]上围城的面积.为什么要把一小段△x对应的矩形面积用dA(dA=f(ξ)dx,ξ∈[x,x+△x])来表示?就是说dA为什么等于[x,x+△x]
高数中一元定积分求平面图形面积的疑问
比如计算函数y^2=x和y=x^2在[0.1]上围城的面积.
为什么要把一小段△x对应的矩形面积用dA(dA=f(ξ)dx,ξ∈[x,x+△x])来表示?
就是说dA为什么等于[x,x+△x]上的矩形面积?
那f(ξ)就是A=g(x)在x点的导数?
不好意思我原问题没表达清楚,其实是这样。
假定函数y=f(x),A表示在区间[x0,x0+△x]上的曲边梯形面积。
在区间[x0,x0+△x]上以f(x0)为高,△x为底的矩形面积为什么可以用dA(A的微分)来表示?或者说如何理解A - A的微分=矩形上面一小段弧形的面积?
高数中一元定积分求平面图形面积的疑问比如计算函数y^2=x和y=x^2在[0.1]上围城的面积.为什么要把一小段△x对应的矩形面积用dA(dA=f(ξ)dx,ξ∈[x,x+△x])来表示?就是说dA为什么等于[x,x+△x]
这个是积分的几何意义
用的是极限思想
dA就是将x分为无数个小块,然后用每个小块乘以f(x)(即它的高)
你先想象一个特殊情况:长方形
长方形也可以如此分块,分成无数个小长条.
f(x)dA用的就是这个思想,当△x→0之后,x就被分割了
所谓积分就是将所求面积细分为一系列的矩形,将其逐步细化后再求出众矩形的面积和作为所求面积,若直接取x点的值则始终是近似。现在知道若将矩形的数目无线增多,最后计算和的极限,得到的结果就可以用其导函数取得F(b)-F(a)
选矩形面积是因为矩形好算,实际取微元△x的形状也近似矩形。dA可能是delta area的意思,只是一个符号表示微元的面积而已。把导数的定义和几何学上的面积计算方式结合在一块就明白f(ξ)为什么是A=g(x)在x点的导数了。