已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A B ,关于M(2,2)对称1.求P取值范围2.P=2时,AB的垂直平分线交该抛物线于C D,平面内是否存在一点N到A B C D 四点距离相等,若存在,求出N坐标
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 03:26:13
![已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A B ,关于M(2,2)对称1.求P取值范围2.P=2时,AB的垂直平分线交该抛物线于C D,平面内是否存在一点N到A B C D 四点距离相等,若存在,求出N坐标](/uploads/image/z/10298872-64-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy2%3D2px%28p%3E0%29%E4%B8%8A%E6%9C%89%E4%B8%A4%E7%82%B9A+B+%2C%E5%85%B3%E4%BA%8EM%282%2C2%29%E5%AF%B9%E7%A7%B01.%E6%B1%82P%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B42.P%3D2%E6%97%B6%2CAB%E7%9A%84%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E8%AF%A5%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E4%BA%8EC+D%2C%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%86%85%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%B8%80%E7%82%B9N%E5%88%B0A+B+C+D+%E5%9B%9B%E7%82%B9%E8%B7%9D%E7%A6%BB%E7%9B%B8%E7%AD%89%2C%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E6%B1%82%E5%87%BAN%E5%9D%90%E6%A0%87)
已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A B ,关于M(2,2)对称1.求P取值范围2.P=2时,AB的垂直平分线交该抛物线于C D,平面内是否存在一点N到A B C D 四点距离相等,若存在,求出N坐标
已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A B ,关于M(2,2)对称
1.求P取值范围
2.P=2时,AB的垂直平分线交该抛物线于C D,平面内是否存在一点N到A B C D 四点距离相等,若存在,求出N坐标
已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A B ,关于M(2,2)对称1.求P取值范围2.P=2时,AB的垂直平分线交该抛物线于C D,平面内是否存在一点N到A B C D 四点距离相等,若存在,求出N坐标
1、
因为A,B关于M(2,2)对称,所以,AB中点为M(2,2)
则可设AB:x=m(y-2)+2,A(x1,y1),B(x2,y2)
(显然直线斜率存在且不为0,斜率不存在的话,弦的中点肯定在x轴上;斜率为0时,只有一个交点)
(另注:这种直线设法是为了方便消元,m不是斜率,是斜率的倒数)
则:y1+y2=4,
x=m(y-2)+2
y²=2px
联列方程组,消去x得:
y²=2p[m(y-2)+2]
y²-2pmy+4pm-4p=0 ①
y1+y2=2pm=4
得:m=2/p代入①式,方程化为:y²-4y+8-4p=0
该方程有两个解,则:△=16-4(8-4p)>0,得:p>1
所以,p的取值范围是:p>1
2、
p=2时,由(1)知:m=2/p=1,此时抛物线方程为:y²=4x
所以,AB的方程为:y=x
则AB的垂直平分线CD为:y=-(x-2)+2,即:y=-x+4
y=-x+4
y²=4x
联列,消去x,得:y²=4(-y+4),
y²+4y-16=0
y1+y2=-4,则:x1+x2=-y1+4-y2+4=12
即CD的中点为(6,-2)
CD的垂直平分线为:y=x-8
到A,B距离相等的点肯定在AB的垂直平分线CD:y=-x+4上,
到C,D距离相等的点肯定在CD的垂直平分线:y=x-8上,
无需联列就知道,如果存在的话,这个点N就是CD的中点
(因为这个点(6,-2)在AB的垂直平分线,又在CD的垂直平分线上)
所以,如果存在的话,则N(6,-2)
该点已经满足了NA=NB,NC=ND
下面我们要解出A,B,C,D
y=x
y²=4x
解得:A(0,0),B(4,4)
y=-x+4
y²=4x
解得:C(6-√15,-2+√15),D(6+√15,-2-√15)
NA²=40,NC²=30
显然不等.
所以,不存在满足题意的点N