已知G(x)=xf(x),如f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明:证明:在(0,1)内至少存在一点m,使得G’’(m)=0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 01:01:14
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已知G(x)=xf(x),如f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明:证明:在(0,1)内至少存在一点m,使得G’’(m)=0
已知G(x)=xf(x),如f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明:
证明:在(0,1)内至少存在一点m,使得G’’(m)=0
已知G(x)=xf(x),如f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明:证明:在(0,1)内至少存在一点m,使得G’’(m)=0
证明:
∵f(x)在[0,1]上有二阶导数
∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导
∴G(x)及G'(x)在[0,1]上也连续可导
又f(0)=f(1)=0
∴G(0)=0*f(0)=0,G(1)=f(1)=0
由罗尔定理知
在(0,1)内至少存在一点ξ1,使G'(ξ1)=0
又G'(x)=f(x)+xf'(x)
且f(0)=f(1)=0
∴G'(0)=f(0)+0*f'(0)=0
∴G'(0)=G'(ξ1)=0
∴由罗尔定理知
在(0,ξ1),即(0,1)内至少存在一点m,使G''(m)=0
证毕
G(x)=xf(x),
求导:
G‘(x)=f(x)+xf'(x);
因为如f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0
罗尔定理:如果函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续(其中a不等于b);(2)在开区间(a,b)内可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),
那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ
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G(x)=xf(x),
求导:
G‘(x)=f(x)+xf'(x);
因为如f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0
罗尔定理:如果函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续(其中a不等于b);(2)在开区间(a,b)内可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),
那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ又因为G‘(0)=G‘(1)=0
所以在(0,1)内至少存在一点m,使得G’’(m)=0
收起
因为f(0)=f(1)=0,所以G(0)=G(1)=0。由罗尔定理,在[0,1]上存在一点ξ,使得G'(ξ)=0。
再对G(x)求导,得G'(x)=f(x)+xf'(x)。所以,G'(0)=0。即G'(0)=G'(ξ)=0。
再由罗尔定理,在[0,ξ]上存在一点m,使得G‘’(m)=0。即在[0,1]上存在一点m,使得G‘’(m)=0。