关于连续函数已知f(x)在R上连续,且f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立.求证存在常数a,使得f(x)=ax.实在没思路.书后提示a=f(1),先证x是整数的情况,再证x是有理数的情况,最后证x是无理数的情况.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 15:56:11
![关于连续函数已知f(x)在R上连续,且f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立.求证存在常数a,使得f(x)=ax.实在没思路.书后提示a=f(1),先证x是整数的情况,再证x是有理数的情况,最后证x是无理数的情况.](/uploads/image/z/10094231-47-1.jpg?t=%E5%85%B3%E4%BA%8E%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%B7%B2%E7%9F%A5f%28x%29%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E8%BF%9E%E7%BB%AD%2C%E4%B8%94f%28x%2By%29%3Df%28x%29%2Bf%28y%29%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%BB%BB%E6%84%8Fx%E3%80%81y%E5%B1%9E%E4%BA%8ER%E6%88%90%E7%AB%8B.%E6%B1%82%E8%AF%81%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%B8%B8%E6%95%B0a%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97f%28x%29%3Dax.%E5%AE%9E%E5%9C%A8%E6%B2%A1%E6%80%9D%E8%B7%AF.%E4%B9%A6%E5%90%8E%E6%8F%90%E7%A4%BAa%3Df%281%29%2C%E5%85%88%E8%AF%81x%E6%98%AF%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%83%85%E5%86%B5%2C%E5%86%8D%E8%AF%81x%E6%98%AF%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%83%85%E5%86%B5%2C%E6%9C%80%E5%90%8E%E8%AF%81x%E6%98%AF%E6%97%A0%E7%90%86%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%83%85%E5%86%B5.)
关于连续函数已知f(x)在R上连续,且f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立.求证存在常数a,使得f(x)=ax.实在没思路.书后提示a=f(1),先证x是整数的情况,再证x是有理数的情况,最后证x是无理数的情况.
关于连续函数
已知f(x)在R上连续,且f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立.求证存在常数a,使得f(x)=ax.
实在没思路.书后提示a=f(1),先证x是整数的情况,再证x是有理数的情况,最后证x是无理数的情况.
关于连续函数已知f(x)在R上连续,且f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立.求证存在常数a,使得f(x)=ax.实在没思路.书后提示a=f(1),先证x是整数的情况,再证x是有理数的情况,最后证x是无理数的情况.
∵f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立;分三种情况:
1.x是整数:
有f(0)=f(0)+f(0);∴f(0)=0=a*0
f(1)=f(1)+f(0)=f(1);∴f(n)=f(n-1)+f(1)=.=n*f(1)
取a=f(1),所以f(n)=a*n
2.x是有理数时:
∵x=p/q(p,q为整数) ∴f(p)=f((p/q)*q)=f((p/q)+(p/q)+.+(p/q))=f(x)*q
∴f(x)=f(p)/q=p/q*f(1)=xf(1)
3.x为无理数时:
x为一个序列的极限记为:{Xn}.而{Xn}中每一项都是一个有理数,即:
f(Xn)=Xn*f(1),由极限定理有:f(x)=xf(1)
学了很久了,证明无理数的时候可能有些问题.
litaocaicai 说得很明白
把 litaocaicai 第三问说明一下就对了
1.x是整数:
有f(0)=f(0)+f(0);∴f(0)=0=a*0
f(1)=f(1)+f(0)=f(1);∴f(n)=f(n-1)+f(1)=........=n*f(1)
取a=f(1),所以f(n)=a*n
2.x是有理数时:
∵x=p/q(...
全部展开
litaocaicai 说得很明白
把 litaocaicai 第三问说明一下就对了
1.x是整数:
有f(0)=f(0)+f(0);∴f(0)=0=a*0
f(1)=f(1)+f(0)=f(1);∴f(n)=f(n-1)+f(1)=........=n*f(1)
取a=f(1),所以f(n)=a*n
2.x是有理数时:
∵x=p/q(p,q为整数) ∴f(p)=f((p/q)*q)=f((p/q)+(p/q)+......+(p/q))=f(x)*q
∴f(x)=f(p)/q=p/q*f(1)=xf(1)
3,x为任意实数时,存在趋于x的有理数数列Xn(有理数的稠密性,任何实数都可以用有理数逼近)。再由函数的连续性可知
f(x)=lim f(Xn)=lim a*Xn =a*(lim Xn)=a*x,
lim 为n趋于无穷时的极限。
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