如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2于A,求证:AD^2+BC BD=AB^2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 10:09:22
![如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2于A,求证:AD^2+BC BD=AB^2](/uploads/image/z/10003704-24-4.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9C%86O1%2C%E5%9C%86O2+%E5%A4%96%E5%88%87%E4%BA%8EP%2C%E8%BF%87%E5%9C%86O1%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9B%E4%BD%9C%E5%9C%86O1%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E5%9C%86O2%E4%BA%8EC%E3%80%81D%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFPB%E4%BA%A4%E5%9C%86O2%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9C%86O1%2C%E5%9C%86O2+%E5%A4%96%E5%88%87%E4%BA%8EP%2C%E8%BF%87%E5%9C%86O1%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9B%E4%BD%9C%E5%9C%86O1%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E5%9C%86O2%E4%BA%8EC%E3%80%81D%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFPB%E4%BA%A4%E5%9C%86O2%E4%BA%8EA%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAD%5E2%2BBC+BD%3DAB%5E2)
如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2于A,求证:AD^2+BC BD=AB^2
如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2
如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2于A,求证:AD^2+BC BD=AB^2
如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2于A,求证:AD^2+BC BD=AB^2
过点P作两圆的公切线交BD于E.
∵A、P、C、D共圆,∴∠APD=∠ACD,∴∠BPD=∠ACB.
∵PE、BE分别切⊙O1于P、E,∴∠EPB=∠ABD,∴∠BPD=∠DPE+∠ABD,
∴∠ACB=∠DPE+∠ABD.
∵PE切⊙2于P,∴∠DPE=∠BAD,∴∠ACB=∠BAD+∠ABD=180°-∠ADC.
∵A、P、C、D共圆,∴∠APC=180°-∠ADC,∴∠ACB=∠APC,又∠BAC=∠CAP,
∴△ABC∽△ACP,∴∠ABD=∠ACP.
∵A、P、C、D共圆,∴∠ADP=∠ACP,∴∠ADP=∠PBD,∴AD是△PBD外接圆的切线,
∴由切割线定理,有:AD^2=AP×AB=(AB-BP)AB=AB^2-AB×BP.
对⊙2来说,由割线定理,有:AB×BP=BC×BD,∴AD^2=AB^2-BC×BD,
∴AD^2+BC×BD=AB^2.