二重积分∫∫（区域D为x²+y²≤9）√（9-x²-y²）dσ=?

二重积分∫∫（区域D为x²+y²≤9）√（9-x²-y²）dσ=?
二重积分∫∫（区域D为x²+y²≤9）√（9-x²-y²）dσ=?

二重积分∫∫（区域D为x²+y²≤9）√（9-x²-y²）dσ=?
化为极坐标
原式= ∫∫ √(9-r²) r dr dθ
= -π ∫ √(9-r²) d(9-r²)
= -2π/3 √(9-r²)³ |
= 18π
也可以根据几何意义来解
原积分表示半球z=√(9-x²-y²) 的体积
故原式= 4/3 π ×3³× 1/2 = 18π