2004•黑龙江)给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.(Ⅰ)设l的斜率为1,求 OA与 OB夹角的大小;(Ⅱ)设 FB=λ AF,若λ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.
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![2004•黑龙江)给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.(Ⅰ)设l的斜率为1,求 OA与 OB夹角的大小;(Ⅱ)设 FB=λ AF,若λ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.](/uploads/image/z/9449286-6-6.jpg?t=2004%26%238226%3B%E9%BB%91%E9%BE%99%E6%B1%9F%EF%BC%89%E7%BB%99%E5%AE%9A%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFC%EF%BC%9Ay2%3D4x%2CF%E6%98%AFC%E7%9A%84%E7%84%A6%E7%82%B9%2C%E8%BF%87%E7%82%B9F%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%B8%8EC%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EA%E3%80%81B%E4%B8%A4%E7%82%B9%EF%BC%8E%EF%BC%88%E2%85%A0%EF%BC%89%E8%AE%BEl%E7%9A%84%E6%96%9C%E7%8E%87%E4%B8%BA1%2C%E6%B1%82+OA%E4%B8%8E+OB%E5%A4%B9%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%EF%BC%9B%EF%BC%88%E2%85%A1%EF%BC%89%E8%AE%BE+FB%3D%CE%BB+AF%2C%E8%8B%A5%CE%BB%E2%88%88%5B4%2C9%5D%2C%E6%B1%82l%E5%9C%A8y%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E6%88%AA%E8%B7%9D%E7%9A%84%E5%8F%98%E5%8C%96%E8%8C%83%E5%9B%B4%EF%BC%8E)
2004•黑龙江)给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.(Ⅰ)设l的斜率为1,求 OA与 OB夹角的大小;(Ⅱ)设 FB=λ AF,若λ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.
2004•黑龙江)给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.
(Ⅰ)设l的斜率为1,求
OA与
OB夹角的大小;
(Ⅱ)设
FB=λ
AF,若λ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.
2004•黑龙江)给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.(Ⅰ)设l的斜率为1,求 OA与 OB夹角的大小;(Ⅱ)设 FB=λ AF,若λ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.
1)由题意,F(1,0)
设直线:x=y+1
y²=4x
x=y+1
y²-4y-4=0
设A(x1,y1)B(x2,y2)
y1+y2=4, y1y2=-4
cos(OA,OB)=OA·OB/|OA||OB|=(x1x2+y1y2)/√(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)
=(y1y2)^2/16+y1y2/√[(y1y2)^4/16^2+(y1y2)^2+(y1y2)^2*(y1^2+y2^2)/16]=-3/√41=-3√41/41
∴向量OA和向量OB的夹角为arccos(-3√41/41)
2)向量FB=λ向量AF
由定点分点公式
1=(x2+λx1)/(1+λ)
0=(y2+λy1)/(1+λ)
y2=-λy1 => y1=-y2/λ
1+λ=y2^2/4+λy1^/4=(1+1/λ)y2^2/4
y2^2=4λ
λ∈[4,9]
∴y2=2√λ
k=|b|/1=y2/(x2-1)
|b|=4y2/(y2^2-4)=4/(y2-4/y2)=2/(√λ-1/√λ)
√λ-1/√λ单调递减
∴2/(√9-1/√9)≤2/(√λ-1/√λ)≤2/(√4-1/√4)
3/4≤|b|≤4/3
截距的变化范围[-4/3,-3/4]∪[3/4,4/3]