求函数f(x)=5根号3cos^2x+根号3sin^2x-4sinxcox(兀/4≦x≦7兀/24)的最小值,并求其取得最小值时x的值.(函数要化成sin的形式)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 13:27:45
![求函数f(x)=5根号3cos^2x+根号3sin^2x-4sinxcox(兀/4≦x≦7兀/24)的最小值,并求其取得最小值时x的值.(函数要化成sin的形式)](/uploads/image/z/924563-11-3.jpg?t=%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D5%E6%A0%B9%E5%8F%B73cos%5E2x%2B%E6%A0%B9%E5%8F%B73sin%5E2x-4sinxcox%28%E5%85%80%2F4%E2%89%A6x%E2%89%A67%E5%85%80%2F24%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%E5%85%B6%E5%8F%96%E5%BE%97%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E6%97%B6x%E7%9A%84%E5%80%BC.%28%E5%87%BD%E6%95%B0%E8%A6%81%E5%8C%96%E6%88%90sin%E7%9A%84%E5%BD%A2%E5%BC%8F%29)
求函数f(x)=5根号3cos^2x+根号3sin^2x-4sinxcox(兀/4≦x≦7兀/24)的最小值,并求其取得最小值时x的值.(函数要化成sin的形式)
求函数f(x)=5根号3cos^2x+根号3sin^2x-4sinxcox(兀/4≦x≦7兀/24)的最小值,并求其取得最小值时x的值.(函数要化成sin的形式)
求函数f(x)=5根号3cos^2x+根号3sin^2x-4sinxcox(兀/4≦x≦7兀/24)的最小值,并求其取得最小值时x的值.(函数要化成sin的形式)
(sqrt是开方)f(x) = 5sqrt(3) [cos(2x)]^2 + sqrt(3) [sin(2x)]^2 - 4sin(x)cos(x),由于 [cos(2x)]^2 + [sin(2x)]^2 = 1,且 2sin(x)cos(x) = sin(2x),故= 5sqrt(3) {1-[sin(2x)]^2} + sqrt(3) [sin(2x)]^2 - 2sin(2x)= -4sqrt(3) [sin(2x)]^2 - 2sin(2x) + 5sqrt(3),这是一个关于 sin(2x)的二次函数.对称轴为 sin(2x) = - 1/(4sqrt(3)), 但是考虑到角度 x 属于 (π/4, 7π/24],也就是2x 属于(π/2, 7π/12],那么 sin(2x) 属于 [ sin(75度), 1),这个区间在对称轴的右侧,于是函数是关于 sin(2x)单调递减的(注意开口向下).又由于sin(2x)是关于x单调递减的(第二象限),所以函数 f 是关于x单调递增的.函数的最小值在左端点 x = π/4取到,此时 f(x) = sqrt(3) - 2;如果你的左端点不包括 π/4,那么函数没有最小值.函数的最大值在右端点 x = 7π/24取到,此时 f(x) = -4sqrt(3) [sin(75度)]^2 - 2sin(75度) + 5sqrt(3),由于sin(75) = sin(30+45) = sqrt(2)/2 (1/2 + sqrt(3)/2),代入即可得到函数最大值为:3sqrt(3) - (sqrt(6) + sqrt(2))/2 - 3.
参考 百度知道