关于一道数学提\题若a.b.c.d为四边形ABCD的四边,且满足a4+b4+c4+d4=4abcd 求证:四边形abcd为菱形(注:a4表示a的四次方)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 14:55:45
![关于一道数学提\题若a.b.c.d为四边形ABCD的四边,且满足a4+b4+c4+d4=4abcd 求证:四边形abcd为菱形(注:a4表示a的四次方)](/uploads/image/z/805559-23-9.jpg?t=%E5%85%B3%E4%BA%8E%E4%B8%80%E9%81%93%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%8F%90%5C%E9%A2%98%E8%8B%A5a.b.c.d%E4%B8%BA%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E5%9B%9B%E8%BE%B9%2C%E4%B8%94%E6%BB%A1%E8%B6%B3a4%2Bb4%2Bc4%2Bd4%3D4abcd+%E6%B1%82%E8%AF%81%3A%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2abcd%E4%B8%BA%E8%8F%B1%E5%BD%A2%28%E6%B3%A8%3Aa4%E8%A1%A8%E7%A4%BAa%E7%9A%84%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%29)
关于一道数学提\题若a.b.c.d为四边形ABCD的四边,且满足a4+b4+c4+d4=4abcd 求证:四边形abcd为菱形(注:a4表示a的四次方)
关于一道数学提\题
若a.b.c.d为四边形ABCD的四边,且满足a4+b4+c4+d4=4abcd 求证:四边形abcd为菱形(注:a4表示a的四次方)
关于一道数学提\题若a.b.c.d为四边形ABCD的四边,且满足a4+b4+c4+d4=4abcd 求证:四边形abcd为菱形(注:a4表示a的四次方)
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd
=(a^2-b^2)^2+2a^2b^2+(c^2-d^2)^2+2c^2d^2-4abcd
=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2
=0
所以,a^2=b^2,c^2=d^2,ab=cd
所以,a=b,c=d,a=c
所以,a=b=c=d
四边形abcd为菱形
证明:
因为a2+b2>=2ab(注:a2表示a的二次方)当且仅当a=b时取等号
所以a4+b4+c4+d4>=2(a2b2)+2(c2d2)=2(a2b2+c2d2)>=4abcd
当且仅当时取等号
又a4+b4+c4+d4=4abcd,所以a=b=c=d
所以四边形abcd为菱形