如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=AC,∠ABD=60°,过D作ED⊥AD交AC于E,恰有DE平分∠BDC,试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 01:48:42
![如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=AC,∠ABD=60°,过D作ED⊥AD交AC于E,恰有DE平分∠BDC,试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.](/uploads/image/z/7304595-51-5.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CAC%2CBD%E6%98%AF%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BF%2CAB%3DAC%2C%E2%88%A0ABD%3D60%C2%B0%2C%E8%BF%87D%E4%BD%9CED%E2%8A%A5AD%E4%BA%A4AC%E4%BA%8EE%2C%E6%81%B0%E6%9C%89DE%E5%B9%B3%E5%88%86%E2%88%A0BDC%2C%E8%AF%95%E5%88%A4%E6%96%AD%E7%BA%BF%E6%AE%B5CD%E3%80%81BD%E4%B8%8EAC%E4%B9%8B%E9%97%B4%E6%9C%89%E6%80%8E%E6%A0%B7%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB%3F%E5%B9%B6%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%BD%A0%E7%9A%84%E7%BB%93%E8%AE%BA.)
如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=AC,∠ABD=60°,过D作ED⊥AD交AC于E,恰有DE平分∠BDC,试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.
如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=AC,∠ABD=60°,过D作ED⊥AD交AC于E,恰有DE平分∠BDC,试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.
如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=AC,∠ABD=60°,过D作ED⊥AD交AC于E,恰有DE平分∠BDC,试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.
CD+BD=AC
证明:在△ABD外作射线AF,使∠DAF=∠DAC,延长BD交AF于F
∵DE⊥AC
∴∠EAD=90°
又∵DE平分∠BDC
∴∠BDE=∠CDE=1/2∠BDE
∴∠ADC=90°+1/2∠BDE;
∠ADB=90°-1/2∠CDE=90°-1/2∠BDE
∵∠ADB+∠ADF=180°
∴∠ADF=180°-90°+1/2∠BDE
=90°+1/2∠BDE
∴∠ADC=∠ADF
在△ADC和△ADF中
∠ADC=∠ADF
AD=AD
∠CAD=∠FAD
∴△ADC≌△ADF
∴CD=FD,AF=AC=AB
∵在△ABF中,AB=AF,∠ABF=60°
∴△ABF为等边三角形
∴BF=AB=AC
∵BF=BD+DF=BD+DC
∴CD+BD=AC
连接OD,因为点E与点O关于直线BC对称,所以∠OED=∠DOC
因为BC‖AO,所以∠AOB=∠OBC=35°
又因为点A与点D关于直线OB的对称,
所以∠AOB=∠DOB=35°
所以∠OED=∠DOC=90°-2×30°=30°