已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,双曲线x^2-y^2=1的渐近线方程与C有四个交点,以这四个点为顶点的四边形面积为16,求椭圆C的方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 00:46:08
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已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,双曲线x^2-y^2=1的渐近线方程与C有四个交点,以这四个点为顶点的四边形面积为16,求椭圆C的方程
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,双曲线x^2-y^2=1的渐近线方程与C有四个交点,
以这四个点为顶点的四边形面积为16,求椭圆C的方程
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,双曲线x^2-y^2=1的渐近线方程与C有四个交点,以这四个点为顶点的四边形面积为16,求椭圆C的方程
双曲线的渐近线方程为 y=±x ,
代入椭圆方程得 x^2/a^2+x^2/b^2=1 ,y^2/a^2+y^2/b^2=1 ,
两式相加得 (x^2+y^2)*(1/a^2+1/b^2)=2 ,
由此得交点到原点的距离为 √(x^2+y^2)=√[2a^2b^2/(a^2+b^2)] ,
所以,由面积=16 得 2*2a^2b^2/(a^2+b^2)=16 ,(1)
又离心率为 √3/2 ,
所以 e^2=c^2/a^2=3/4 ,(2)
且 a^2-b^2=c^2 ,(3)
由以上三式解得 a^2=20 ,b^2=5 ,
所以,椭圆C的方程为 x^2/20+y^2/5=1 .
其实不用这么难,只看离心率就行了。离心率等于c/a=√3/2,而且三角形abc是直角三角形,所以b/a=1/2,所以就有了x2 y2=100
双曲线的渐近线方程为 y=±x ,
代入椭圆方程得 x^2/a^2+x^2/b^2=1 ,y^2/a^2+y^2/b^2=1 ,
两式相加得 (x^2+y^2)*(1/a^2+1/b^2)=2 ,
由此得交点到原点的距离为 √(x^2+y^2)=√[2a^2b^2/(a^2+b^2)] ,
所以,由面积=16 得 2*2a^2b^2/(a^2+b^2)=16 ,(1...
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双曲线的渐近线方程为 y=±x ,
代入椭圆方程得 x^2/a^2+x^2/b^2=1 ,y^2/a^2+y^2/b^2=1 ,
两式相加得 (x^2+y^2)*(1/a^2+1/b^2)=2 ,
由此得交点到原点的距离为 √(x^2+y^2)=√[2a^2b^2/(a^2+b^2)] ,
所以,由面积=16 得 2*2a^2b^2/(a^2+b^2)=16 ,(1)
又离心率为 √3/2 ,
所以 e^2=c^2/a^2=3/4 ,(2)
且 a^2-b^2=c^2 ,(3)
由以上三式解得 a^2=20 ,b^2=5 ,
所以,椭圆C的方程为 x^2/20+y^2/5=1 。
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