已知函数f(x)=x^2+ax+3-a,当x属于[-2,2]时,函数至少有一个零点,求a的范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 21:57:46
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已知函数f(x)=x^2+ax+3-a,当x属于[-2,2]时,函数至少有一个零点,求a的范围
已知函数f(x)=x^2+ax+3-a,当x属于[-2,2]时,函数至少有一个零点,求a的范围
已知函数f(x)=x^2+ax+3-a,当x属于[-2,2]时,函数至少有一个零点,求a的范围
楼上不对,没有考虑有两个零点的情况.
f(x)=x^2+ax+3-a=0得
a(x-1)=-(x^2+3)=-(x-1)^2-2(x-1)-4,
当x∈[-2,1)时,a=-(x-1)-4/(x-1)-2≥2√4-2=2,当且仅当-(x-1)=-4/(x-1),即x=-1时等号成立;
当x∈(1,2]时,a=-(x-1)-4/(x-1)-2≤-(2-1)-4/(2-1)-2=-7;
当x=1时,无解;
综上可得a的范围为a≤-7或a≥2.
由x属于[-2,2]时,函数至少有一个零点得:
f(-2)*f(2)<=0
(4+2a+3-a)*(4-2a+3-a)<=0
得出a>=7/3或a<=-7
分类讨论
(1)若函数f(x)在指定区间内有且仅有一个零点,则f(-2)与f(2)必定异号
f(-2)=4-2a+3-a=7-3a
f(2)=4+2a+3-a=a+7
f(-2)f(2)=(7-3a)(a+7)≤0
解得:a∈(-∞,-7]∪(7/3,+∞)
(2)若函数f(x)在指定区间内有两个零点,则f(x)图像的对称轴一定在直线x=-2与x=2...
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分类讨论
(1)若函数f(x)在指定区间内有且仅有一个零点,则f(-2)与f(2)必定异号
f(-2)=4-2a+3-a=7-3a
f(2)=4+2a+3-a=a+7
f(-2)f(2)=(7-3a)(a+7)≤0
解得:a∈(-∞,-7]∪(7/3,+∞)
(2)若函数f(x)在指定区间内有两个零点,则f(x)图像的对称轴一定在直线x=-2与x=2之间,且方程f(x)=0至少有两个实根
则有
-2≤-a/2≤2
a^2-4(3-a)≥0
解得:a∈[2,4]
综上所述,当a∈(-∞,-7]∪[2,+∞)时,函数至少在[-2,2]上有一个零点
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