如图,凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且AC垂直BD,已知 OA大于OC,OB>OD.试比较BC+AD,AB+CD的大小用处2的方法求
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 20:14:33
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如图,凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且AC垂直BD,已知 OA大于OC,OB>OD.试比较BC+AD,AB+CD的大小用处2的方法求
如图,凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且AC垂直BD,已知 OA大于OC,OB>OD.试比较BC+AD,AB+CD的大小
用处2的方法求
如图,凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且AC垂直BD,已知 OA大于OC,OB>OD.试比较BC+AD,AB+CD的大小用处2的方法求
解法一:
证明:在OA上截取OC′=OC,在OB上截取OD′=OD,
连接C′D′,AD′,BC′,设BC′、AD′交于E,
易证△COD≌△C′OD′(SAS),
所以CD=C′D′,
易证△AOD≌△AOD′,△COB≌△C′OB(SAS),
所以AD=AD′,CB=C′B,
在△C′D′E中,C′E+D′E>C′D′①
在△ABE中,AE+BE>AB②
①+②得AE+D′E+BE+C′E>AB+C′D′,
所以AD′+BC′>AB+CD,
所以AD+BC>AB+CD.
解法二:
由勾股定理得:(BC+AD)-(AB+CD)=(BC-AB)+(AD-CD)
=(√OB^2+OC^2-√OA^2+OB^2)+(√OA^2+OD^2-√OC^2+OD^2 )=(OC^2-OA^2)/
(√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2)+(OA^2-OC^2)/√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2 )
=(OA^2-OC^2)(1/(√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2)-1/(√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2)
因为OB>OD,所以√OA^2+OB^2>√OA^2+OD^2,√OB^2+OC^2>√OC^2+OD^2
所以 √OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2>√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2
所以 1/(√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2)>1/(√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2
又因为 OA>OC ,所以 OA^2-OC^2>0 ,所以 BC+AD > AB+CD