设椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C2:x^2=4√2y焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,离心率e=√3/3,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得OM·ON=-1,若存在,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 04:01:54
![设椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C2:x^2=4√2y焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,离心率e=√3/3,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得OM·ON=-1,若存在,](/uploads/image/z/6798033-9-3.jpg?t=%E8%AE%BE%E6%A4%AD%E5%9C%86C1%EF%BC%9Ax%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%28a%3Eb%3E0%29%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E9%A1%B6%E7%82%B9%E4%B8%8E%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFC2%EF%BC%9Ax%5E2%3D4%E2%88%9A2y%E7%84%A6%E7%82%B9%E9%87%8D%E5%90%88%2CF1%2CF2%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AF%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9%2C%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87e%3D%E2%88%9A3%2F3%2C%E8%BF%87%E6%A4%AD%E5%9C%86%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9F2%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%B8%8E%E6%A4%AD%E5%9C%86C%E4%BA%A4%E4%BA%8EM%2CN%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97OM%C2%B7ON%3D-1%2C%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C)
设椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C2:x^2=4√2y焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,离心率e=√3/3,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得OM·ON=-1,若存在,
设椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C2:x^2=4√2y焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,离心率e=√3/3,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得OM·ON=-1,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由
设椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C2:x^2=4√2y焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,离心率e=√3/3,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得OM·ON=-1,若存在,
因为抛物线的焦点F(0,√2),所以b^2=2,又因为e=√3/3,所以a^2=3,所以椭圆C1:
x^2/3+y^2/2=1,右焦点F2(1,0).
设L:y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),因为OM·ON=-1,所以x1*x2+y1*y2=-1.
由y=k(x-1)和x^2/3+y^2/2=1联立得:(2+3k^2)x^2-6k^2*x+3k^2-6=0
所以x1*x2=3(k^2-2)/(2+3k^2),x1+x2=6k^2/(2+3k^2)
又y1*y2=k^2(x1-1)(x2-1)=k^2*x1*x2-k^2(x1+x2)+k^2
所以:x1*x2+y1*y2=(1+k^2)x1x2-k^2(x1+x2)+k^2=-1
化简得:k^2=2,所以k=√2或k=-√2.
所以存在L:y=√2(x-1)=或y=-√2(x-1)