y=x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)的导数求法,(详细)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 02:49:27
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y=x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)的导数求法,(详细)
y=x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)的导数求法,(详细)
y=x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)的导数求法,(详细)
记y(x)=xg(x),其中g(x)=(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n),有g(0)=n!
求导y'(x)=g(x)+xg'(x)
则y'(0)=g(0)=n!
两边取对数lny=lnx+ln(x+1)+...+ln(x+n)
两边对x求导数
y'/y=1/x+1/(x+1)+...+1/(x+n)
应该是求y'(0)吧,以下极限x->0
y'(0)=lim(y(x)-y(0))/x
=lim(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)
=n!
如果对上面直接求导,是很繁的,因为有n个积,要用到n次的分步积分,所以,采用对数,将积化为和,然后对lny 求导时记住y是x的函数,必须用到复合函数的求导法,
即:(lny)'=(1/y)*y' (说明:(lny)'中的1/y 是把y作为变量求自然对数的导数,而y又是x的函数,
所以,必须在乘以y对x的求导,这是根据复合函数的求导法)
所以,lny=lnx+ln(x+1)...
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如果对上面直接求导,是很繁的,因为有n个积,要用到n次的分步积分,所以,采用对数,将积化为和,然后对lny 求导时记住y是x的函数,必须用到复合函数的求导法,
即:(lny)'=(1/y)*y' (说明:(lny)'中的1/y 是把y作为变量求自然对数的导数,而y又是x的函数,
所以,必须在乘以y对x的求导,这是根据复合函数的求导法)
所以,lny=lnx+ln(x+1)+ln(x+2)+ln(x+3)+------+ln(x+n)
所以,(lny)'=[lnx+ln(x+1)+ln(x+2)+ln(x+3)+------+ln(x+n)]'
所以,(1/y)*y'=1/x+1/(x+1)+1/(x+2)+1/(x+3)+------1/(x+n)
所以,y'=y[1/x+1/(x+1)+1/(x+2)+1/(x+3)+------1/(x+n)]
即:y'=[x(x+1)(x+2)(x+3)-----(x+n)][1/x+1/(x+1)+1/(x+2)+1/(x+3)+------1/(x+n)]
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