设函数f(x)=ax³+bx²+cx+d的图像与y轴的交点为P,且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0,若函数在x=2处取得极值-16.试求函数的解析式,并确定函数的单调区间
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 12:07:27
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设函数f(x)=ax³+bx²+cx+d的图像与y轴的交点为P,且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0,若函数在x=2处取得极值-16.试求函数的解析式,并确定函数的单调区间
设函数f(x)=ax³+bx²+cx+d的图像与y轴的交点为P,且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0,若函数在x=2处取得极值-16.试求函数的解析式,并确定函数的单调区间
设函数f(x)=ax³+bx²+cx+d的图像与y轴的交点为P,且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0,若函数在x=2处取得极值-16.试求函数的解析式,并确定函数的单调区间
f(x)=ax³+bx²+cx+d,P(0,d)
f′(x)=3ax²+2bx+c,
切线为y=-24x+12过P(0,d),所以d=12,在P处切线斜率为f′(0)=c=-24
所以f(x)=ax³+bx²-24x+12,f′(x)=3ax²+2bx-24
函数在x=2处取得极值,
即x=2时,f′(x)=3ax²+2bx-24=0,
即f′(2)=12a+4b-24=0,
即12a+4b=24①
函数在x=2处取得极值-16,
即f(2)=8a+4b-48+12=-16
即8a+4b=20②
解由①②组成的方程组,得
a=1
b=3
所以f(x)=x³+3x²-24x+12,f′(x)=3x²+6x-24
f′(x)=3x²+6x-24=3(x²+2x-8)=3(x+4)(x-2),所以
当x<-4时,f′(x)>0,即在(-∞,-4]上f(x)是增函数;
当-4