已知ad≠bc,求证﹙a²+b²﹚﹙c²+d²﹚>﹙ac+bd﹚²
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 22:42:30
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已知ad≠bc,求证﹙a²+b²﹚﹙c²+d²﹚>﹙ac+bd﹚²
已知ad≠bc,求证﹙a²+b²﹚﹙c²+d²﹚>﹙ac+bd﹚²
已知ad≠bc,求证﹙a²+b²﹚﹙c²+d²﹚>﹙ac+bd﹚²
此为柯西不等式
(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
>(ac+bd)^2
用作差比较法:
﹙a²+b²﹚﹙c²+d²﹚-﹙ac+bd﹚²
=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-a²c²-b²d²-2abcd
=a²d²+b²c²-2ab...
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用作差比较法:
﹙a²+b²﹚﹙c²+d²﹚-﹙ac+bd﹚²
=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-a²c²-b²d²-2abcd
=a²d²+b²c²-2abcd
=(ad-bc)²>=0
ad≠bc
所以﹙a²+b²﹚﹙c²+d²﹚>﹙ac+bd﹚²
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