半圆的直径AB=2,D是半圆弧上的一点,线段DC与半圆相切,且DC=2,设∠BAD=α,用α表示四边形的面积S.当α为何值时S四边形ABCD最大?最大值为多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 23:01:46
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半圆的直径AB=2,D是半圆弧上的一点,线段DC与半圆相切,且DC=2,设∠BAD=α,用α表示四边形的面积S.当α为何值时S四边形ABCD最大?最大值为多少?
半圆的直径AB=2,D是半圆弧上的一点,线段DC与半圆相切,且DC=2,设∠BAD=α,用α表示四边形的面积S.
当α为何值时S四边形ABCD最大?最大值为多少?
半圆的直径AB=2,D是半圆弧上的一点,线段DC与半圆相切,且DC=2,设∠BAD=α,用α表示四边形的面积S.当α为何值时S四边形ABCD最大?最大值为多少?
如图
∵D是以AB为直径的半圆上的一点,AB=2
∴∠ADB=90°
AD=AB×cosα=2cosα
BD=AB×sinα=2sinα
∵DC为切线
∴∠BDC=α
S△ABD=AB×AD×sinα/2=2×2×cosα×sinα/2=2×sinα×cosα=sin(2α)
S△BDC=BD×DC×sinα/2=2sinα×2×sinα/2=2×(sinα)^2=1-cos(2α)
S ABCD=S△ABD+S△BDC=sin(2α)+1-cos(2α)=1+sin(2α)-cos(2α)
当sin(2α)= -cos(2α)
即2α=135° α=67.5°时
S ABCD取最大值=1+√2/2-(-√2/2)=1+√2
当角等于67.5度时,取得最大值,最大值等于2开根在加1.
做法就是先连接OD和BD; 然后先算三角形ABD的面积,根据圆的性质得:角ADB为90度,所以这个三角形面积等于1/2 *2sin a *2cos a; 在算三角形BCD的面积,角DAB=角ADO=a,又因为与半圆相切,所以角ODC=90度,角BDC=角ADO=a,所以此三角形面积等于1/...
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当角等于67.5度时,取得最大值,最大值等于2开根在加1.
做法就是先连接OD和BD; 然后先算三角形ABD的面积,根据圆的性质得:角ADB为90度,所以这个三角形面积等于1/2 *2sin a *2cos a; 在算三角形BCD的面积,角DAB=角ADO=a,又因为与半圆相切,所以角ODC=90度,角BDC=角ADO=a,所以此三角形面积等于1/2 * 2sina * 2.
注: *代表乘号,还有三角形面积等于两邻边乘积再乘以它们夹角的正旋的一半
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