已知函数f(x)=2sin(x-π/3)+1,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π/3,当x∈[0,π/3]时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 01:45:14
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已知函数f(x)=2sin(x-π/3)+1,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π/3,当x∈[0,π/3]时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围?
已知函数f(x)=2sin(x-π/3)+1,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π/3,当x∈[0,π/3]时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围?
已知函数f(x)=2sin(x-π/3)+1,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π/3,当x∈[0,π/3]时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围?
f(kx)=2sin(kx-π/3)+1首先周期t=2π/3 因为 t=2π/k=2π/3所以 k=3 因为x∈[0,π/3] 所以 kx∈[0,π]
记kx=n 故f(n)=2sin(n-π/3)+1 记u=n-π/3∈[-π/3,2π/3] 有两个不同解就是y=m与之有两个交点 根据函数图像可知 m∈[根号3+1,3]
函数y=f(kx)=2sin(kx-π/3)+1的周期:T=2π/k=2π/3,(k>0)
所以k=3。
方程f(3x)=2sin(3x-π/3)+1=m,恰有两个不同的解,
即方程 sin(3x-π/3)=(m-1)/2,恰有两个不同的解,
即函数y=sin(3x-π/3),与函数y=(m-1)/2,恰有两个不同的交点。
因为 x∈[0,π/3],
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函数y=f(kx)=2sin(kx-π/3)+1的周期:T=2π/k=2π/3,(k>0)
所以k=3。
方程f(3x)=2sin(3x-π/3)+1=m,恰有两个不同的解,
即方程 sin(3x-π/3)=(m-1)/2,恰有两个不同的解,
即函数y=sin(3x-π/3),与函数y=(m-1)/2,恰有两个不同的交点。
因为 x∈[0,π/3],
3x-π/3∈[-π/3,2π/3],
由函数y=sin(3x-π/3)的图象可知:
x∈[2π/9,5π/18)U(5π/18,π/3]时,y∈[√3/2,1),
与函数y=(m-1)/2,可能恰有两个不同的交点。
所以 √3/2<=(m-1)/2<1,
√3+1<=m<3。
故所求实数m的取值范围为:[√3+1,3)。
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