已知抛物线y^2=4x,点M(1,0)关于y轴对称的对称点为N,直线l过点M交抛物线于AB两点证明NA NB的斜率互为相反数,求△ANB面积的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 22:55:29
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已知抛物线y^2=4x,点M(1,0)关于y轴对称的对称点为N,直线l过点M交抛物线于AB两点证明NA NB的斜率互为相反数,求△ANB面积的最小值
已知抛物线y^2=4x,点M(1,0)关于y轴对称的对称点为N,直线l过点M交抛物线于AB两点证明NA NB的斜率互为相
反数,求△ANB面积的最小值
已知抛物线y^2=4x,点M(1,0)关于y轴对称的对称点为N,直线l过点M交抛物线于AB两点证明NA NB的斜率互为相反数,求△ANB面积的最小值
(Ⅰ)设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).
{y=k(x-1)y2=4x可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.
∴y1y2=-4∵N(-1,0)kNA+kNB=y1x1+1+y2x2+1=4y1y12+4+4y2y22+4
4[y1(y22+4)+y2(y12+4)](y12+4)(y22+4)=4(-4y2+4y1-4y1+4y2)(y12+4)(y22+4)=0.
又当l垂直于x轴时,点A,B关于x轴,显然kNA+kNB=0,kNA=-kNB.
综上,kNA+kNB=0,kNA=-kNB.
(Ⅱ)S△NAB=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=4(x1+x2)+8
41+1k2>4.
当l垂直于x轴时,S△NAB=4.
∴△ANB面积的最小值等于4.