在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB‖CD,AB=1/2 DC,DC=根号3 BC,E为PD中点. (1)求证:AE∥平面PBC;(2)求证:AE⊥平面PDC;(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.重点回答第3
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 06:23:04
![在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB‖CD,AB=1/2 DC,DC=根号3 BC,E为PD中点. (1)求证:AE∥平面PBC;(2)求证:AE⊥平面PDC;(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.重点回答第3](/uploads/image/z/5556634-34-4.jpg?t=%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%2C%E2%96%B3PBC%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2CAB%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2PBC%2CAB%E2%80%96CD%2CAB%3D1%2F2+DC%2CDC%3D%E6%A0%B9%E5%8F%B73+BC%2CE%E4%B8%BAPD%E4%B8%AD%E7%82%B9.+%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAE%E2%88%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2PBC%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAE%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2PDC%EF%BC%9B%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%B9%B3%E9%9D%A2PAD%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2PBC%E6%89%80%E6%88%90%E9%94%90%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%EF%BC%8E%E9%87%8D%E7%82%B9%E5%9B%9E%E7%AD%94%E7%AC%AC3)
在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB‖CD,AB=1/2 DC,DC=根号3 BC,E为PD中点. (1)求证:AE∥平面PBC;(2)求证:AE⊥平面PDC;(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.重点回答第3
在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB‖CD,AB=1/2 DC,DC=根号3 BC,E为PD中点.
(1)求证:AE∥平面PBC;
(2)求证:AE⊥平面PDC;
(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.
重点回答第3小题,
在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB‖CD,AB=1/2 DC,DC=根号3 BC,E为PD中点. (1)求证:AE∥平面PBC;(2)求证:AE⊥平面PDC;(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.重点回答第3
此图为第三问所用
1.取PC中点H连接BH,EH
E为PD中点
EH‖CD,EH=1/2CD=AB
四边形ABHE是平行四边行
AE∥平面PBC
2因为AB⊥平面PBC
所以AB⊥BH
所以平行四边形ABHE是矩形
AE⊥EH
PBC为正三角形,所以BH⊥PC
所以AE⊥PC
所以AE⊥平面PDC
3.建立以B为原点如图所示空间直角坐标系,设AB=1
A(0,0,1) C(0,2√3/3,0) D(0,2√3/3,2)
P(1, √3/3,0)
向量BP=(1, √3/3,0),向量BC=(0,2√3/3,0)
向量AD=(0,2√3/3,1) 向量AP=(1, √3/3,-1)
设向量α,β分别是平面PBC与平面PAD的法向量
有向量α·BP=0 向量β· AD=0
向量α·BC=0 向量β·AP=0
不妨设α=(0,0,1)
β=(-√3,1,-2√3/3)
cos<α,β>=-1/2
<α,β>=120度
平面PAD与平面PBC所成锐二面角=60度
在△DPC中,设PC的中点为F,连结EF,则EF//DC,且EF=(1/2)*DC。所以AB//DC//EF,AB=EF,于是ABFE是平行四边形。所以AE//BF,所以AE//底面PBC。
底面PBC是正三角形,所以中线BF垂直于PC,又有已知条件AB⊥平面PBC,所以DC垂直于底面上的直线BF。这样BF就垂直于两条相交直线PC,DC。于是BF垂直于右侧面PDC。
设DC的中点为...
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在△DPC中,设PC的中点为F,连结EF,则EF//DC,且EF=(1/2)*DC。所以AB//DC//EF,AB=EF,于是ABFE是平行四边形。所以AE//BF,所以AE//底面PBC。
底面PBC是正三角形,所以中线BF垂直于PC,又有已知条件AB⊥平面PBC,所以DC垂直于底面上的直线BF。这样BF就垂直于两条相交直线PC,DC。于是BF垂直于右侧面PDC。
设DC的中点为G。连结EG,AG。则三角形AEG的平面//三角形BPC的平面。所以,我们就相当于把底面向上平移到了三角形AEG所在的平面。于是,所需要求的二面角的平面角,就是角DEG。
理由是:由三垂线定理,DE垂直于AE,EG垂直于AE 。题目有具体数据,自己可以计算啦。
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(1)取DC的中点G。连接AG,
∵E是DP的中点,∴EG//PC,
∵AB//DC且AB=1/2DC,
∴ABCG是平行四边形,∴AG//BC,
∵EG∩AG=G,∴平面AEG//平面BPC,∴AE//平面BPC。
(2)∵AB⊥平面BPC,DC//AB,
∴DC⊥平面BPC,
∵DC在平面PDC内,∴平面PDC⊥平面BPC,
∵A...
全部展开
(1)取DC的中点G。连接AG,
∵E是DP的中点,∴EG//PC,
∵AB//DC且AB=1/2DC,
∴ABCG是平行四边形,∴AG//BC,
∵EG∩AG=G,∴平面AEG//平面BPC,∴AE//平面BPC。
(2)∵AB⊥平面BPC,DC//AB,
∴DC⊥平面BPC,
∵DC在平面PDC内,∴平面PDC⊥平面BPC,
∵AE//平面BPC,∴AE⊥平面PDC。
(3)∵AB、DC都垂直于平面PBC,
∴△APD在平面PBC上的射影就是△BPC,
设正△BPC的边长为a,则DC=√3a,AB=√3a/2,
∴PD=√(PC²+DC²)=2a,AP=√(AB²+BP²)=√7a/2,
∵AE⊥平面PDC,∴AE⊥PD,AE=√(AP²-PE²)=√3a/2,
S△BPC=(1/2)×a×a×sin60°=√3a²/4,S△APD=(1/2)×2a×(√3a/2)=√3a²/2,
设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ,
cosθ=S△BPC/S△APD=(√3a²/4)/(√3a²/2)=1/2,
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角θ=60°。
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