已知函数f(x)=log2^x+1/x-1+log2^(x-1)+log2^(p-x),f(x)是否存在最值,若有,请求出来;如果不存在,请说明理由;PS:能够画图的尽量画图,刚才看了一个,但是实在不明白为什么要求区间中点以及为什么要
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 22:48:27
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已知函数f(x)=log2^x+1/x-1+log2^(x-1)+log2^(p-x),f(x)是否存在最值,若有,请求出来;如果不存在,请说明理由;PS:能够画图的尽量画图,刚才看了一个,但是实在不明白为什么要求区间中点以及为什么要
已知函数f(x)=log2^x+1/x-1+log2^(x-1)+log2^(p-x),
f(x)是否存在最值,若有,请求出来;如果不存在,请说明理由;
PS:能够画图的尽量画图,刚才看了一个,但是实在不明白为什么要求区间中点以及为什么要以1来做分类讨论,..
已知函数f(x)=log2^x+1/x-1+log2^(x-1)+log2^(p-x),f(x)是否存在最值,若有,请求出来;如果不存在,请说明理由;PS:能够画图的尽量画图,刚才看了一个,但是实在不明白为什么要求区间中点以及为什么要
已知函数f(x)=log2[﹙x+1﹚/﹙x-1﹚]+log2(x-1)+log2(p-x).
(1)求函数f(x)的定义域与值域.
分析:(1)先确定函数的定义域,再利用对数的运算性质,化简函数,分类讨论,确定内函数的值域,即可求得函数的值域.
(1)由题意,可得﹙x+1﹚/﹙x-1﹚>0,x-1>0,p-x>0,∴x>1且x<p∵函数的定义域不能为空集,故p>1,函数的定义域为(1,p).
函数f(x)=log2[﹙x+1﹚/﹙x-1﹚]+log2(x-1)+log2(p-x)
=log2(x+1)(p-x)
=log2[-x²+(p-1)x+p].
令t=-x²+(p-1)x+p=-[x-﹙p-1﹚/2]²+(p+1)²/4=g(x)
①当﹙p-1﹚/2<1,p>1,即1<p<3时,
t在(1,p)上单调减,g(p)<t<g(1),即0<t<2p-2,
∴f(x)<1+log2(p-1),函数f(x)的值域为(-∞,log2(p-1));
②当1≤﹙p-1﹚/2≤p,p>1,即p≥3时,
g(p)<t<g(﹙p-1﹚/2),即0<t≤(p+1)²/4,
∴f(x)≤2log2(p+1)-2,函数f(x)的值域为(-∞,2log2(p+1)-2).
综上:
当1<p<3时,函数f(x)的值域为(-∞,log2(p-1));
当p≥3时,函数f(x)的值域为(-∞,2log2(p+1)-2).
点评:本题考查导数函数,考查函数的值域,考查分类讨论的数学思想,解题的关键是确定函数的定义域,化简函数.