如图,△abc等腰直角三角形,∠acb=90°,m、n为斜边ab上的两点,满足AM^2+BN^2=MN^2,求∠mcn的度数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 13:19:14
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如图,△abc等腰直角三角形,∠acb=90°,m、n为斜边ab上的两点,满足AM^2+BN^2=MN^2,求∠mcn的度数
如图,△abc等腰直角三角形,∠acb=90°,m、n为斜边ab上的两点,满足AM^2+BN^2=MN^2,求∠mcn的度数
如图,△abc等腰直角三角形,∠acb=90°,m、n为斜边ab上的两点,满足AM^2+BN^2=MN^2,求∠mcn的度数
∠mcn=45°
过点b 作be⊥ab,垂足为b,在be上取一点d,使bd=am
三角形cbd≌三角形cam
cd=cm,∠bcd=∠acm
在直角三角形bdn中,有
bd^2+bn^2=nd^2
am^2+bn^2=mn^2
nd=mn
三角形ncd≌三角形ncm
∠mcn=∠ncd
∠ncd=∠bcn+∠bcd=∠bcn+∠acm
∠mcn+∠bcn+∠acm=90°
∠mcn=90°/2=45°
如图,等腰直角△ABC的斜边AB上有两点M、N,且满足MN2=BN2+AM2,将△ABC绕着C点顺时针旋转90°后,点M、N的对应点分别为T、S. (1)请画出旋转后的图形,并证明△MCN≌△MCS; (2)求∠MCN的度数. 考点:作图-旋转变换;全等三角形的判定与性质;勾股定理的逆定理. 专题:综合题. 分析:(1)根据旋转角度、旋转方向、旋转点找出各点的对应点,顺次连接即可得出旋转后的图形,根据MN2=BN2+AM2,可证得MS=MN,从而利用SSS可证得结论. (2)根据旋转角为90°,再由(1)的结论即可得出答案. (1)画图形如右图所示: 证明:由旋转的性质可得:CS=CN,AS=BN, 又∵MN2=BN2+AM2, ∴MN2=AS2+AM2=MS2, ∴MS=MN, 又∵CS=CN,CM=CM, ∴△MCN≌△MCS(SSS). (2)由(1)得:△MCN≌△MCS, ∴∠NCM=∠MCS=45°. 点评:本题考查旋转作图及三角形全等的证明,难度较大,关键是掌握旋转前后线段的长度,角的度数均不变.