椭圆x²/4+y²=1直线l与椭圆C有且只有一个公共点P,记点P在第一象限时l交xy轴AB且向量OM=OA+OB求
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 13:01:03
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椭圆x²/4+y²=1直线l与椭圆C有且只有一个公共点P,记点P在第一象限时l交xy轴AB且向量OM=OA+OB求
设直线l:y=kx+b
则A(0,b),B(-b/k,0)
将直线方程代入椭圆方程,x²/4+(kx+b)²=1
即(1+4k²)x²+8kbx+4b²-4=0
只有一个交点,所以
△=0
(8kb)²-4(1+4k²)*(4b²-4)=0
即4k²-b²+1=0
所以b²=4k²+1
而向量OM=(-b/k,b)
|OM|=根号(-b/k)²+b²)=根号(5+1/k²+4k²)>=3
所以最小值3
5+2根号2