正三角形ABC内接与圆O,P是劣弧BC上任意一点,PA与BC交于点E,求证(1)PA=PB+PC (2)PA×PE=PB×PC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 20:37:21
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正三角形ABC内接与圆O,P是劣弧BC上任意一点,PA与BC交于点E,求证(1)PA=PB+PC (2)PA×PE=PB×PC
正三角形ABC内接与圆O,P是劣弧BC上任意一点,PA与BC交于点E,求证(1)PA=PB+PC (2)PA×PE=PB×PC
正三角形ABC内接与圆O,P是劣弧BC上任意一点,PA与BC交于点E,求证(1)PA=PB+PC (2)PA×PE=PB×PC
(1)在AP上取点D使PD=PC,连接DC
角APC=角ABC=60度 所以三角形PCD是等边三角形
角BPD=角ACB=60度 角BPC=120度 角ADC=180-60=120度
又角PAC=角PBC CD=CP 所以三角形BPC与三角形ADC全等
所以BP=AD 又PD=PC
所以PA=PB+PC
(2)角BPE=角APC 角PAC=角PBE
所以三角形BPE与三角形APC相似
所以PA/PB=PC/PE
即PA×PE=PB×PC
1在PA上取M使AM=PB,连结BM
弧PC对的角PAC=角PBC
AC=BC
可以证到AMC全等于BPC
CM=PM
所以PA=PM+AM=PB+PC
2
即(PB+PC)*PE=PB*PC
即PB(PC-PE)=PC*PE
(PC=PM)
即PB*ME=PC*PE
证明下BEM相似于CEP就可以了
(由1的全等找角相等)