如图AD为○O的直径,AT为○O的切线,BC∥AD,DB交AT于E点,过E点作要EF⊥CD交DC于F点(1)求证:角AEB=角ADC(2)探究 BD、BE、EF三者之间的数量关系,并证明(3延长CB交AE于M点,若MA=3,MB=1,求EF的长
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 17:14:29
![如图AD为○O的直径,AT为○O的切线,BC∥AD,DB交AT于E点,过E点作要EF⊥CD交DC于F点(1)求证:角AEB=角ADC(2)探究 BD、BE、EF三者之间的数量关系,并证明(3延长CB交AE于M点,若MA=3,MB=1,求EF的长](/uploads/image/z/4976190-54-0.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BEAD%E4%B8%BA%E2%97%8BO%E7%9A%84%E7%9B%B4%E5%BE%84%2CAT%E4%B8%BA%E2%97%8BO%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%2CBC%E2%88%A5AD%2CDB%E4%BA%A4AT%E4%BA%8EE%E7%82%B9%2C%E8%BF%87E%E7%82%B9%E4%BD%9C%E8%A6%81EF%E2%8A%A5CD%E4%BA%A4DC%E4%BA%8EF%E7%82%B9%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E8%A7%92AEB%3D%E8%A7%92ADC%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%8E%A2%E7%A9%B6+BD%E3%80%81BE%E3%80%81EF%E4%B8%89%E8%80%85%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB%2C%E5%B9%B6%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%883%E5%BB%B6%E9%95%BFCB%E4%BA%A4AE%E4%BA%8EM%E7%82%B9%2C%E8%8B%A5MA%3D3%2CMB%3D1%2C%E6%B1%82EF%E7%9A%84%E9%95%BF)
如图AD为○O的直径,AT为○O的切线,BC∥AD,DB交AT于E点,过E点作要EF⊥CD交DC于F点(1)求证:角AEB=角ADC(2)探究 BD、BE、EF三者之间的数量关系,并证明(3延长CB交AE于M点,若MA=3,MB=1,求EF的长
如图AD为○O的直径,AT为○O的切线,BC∥AD,DB交AT于E点,过E点作要EF⊥CD交DC于F点
(1)求证:角AEB=角ADC
(2)探究 BD、BE、EF三者之间的数量关系,并证明
(3延长CB交AE于M点,若MA=3,MB=1,求EF的长
如图AD为○O的直径,AT为○O的切线,BC∥AD,DB交AT于E点,过E点作要EF⊥CD交DC于F点(1)求证:角AEB=角ADC(2)探究 BD、BE、EF三者之间的数量关系,并证明(3延长CB交AE于M点,若MA=3,MB=1,求EF的长
(1)证明:连接AB
因为AD是圆O的直径
所以角ABD=90度
因为角ABD+角ABE=180度
所以角ABE=90度
因为角ABE+角AEB+角BAE=180度
所以角AEB+角BAE=90度
因为AT为圆O的切线
所以角BAE+角BAD=角DAE=90度
所以角BAD=角AEB
因为AD平行BC
所以角ABC+角BAD=180度
因为角ADC+角ABC=180度
所以角ADC=角BAD
所以角AEB=角ADC
(2)BD=BE+EF
证明:连接AC,过点E作EM平行DF交AC于M
所以角AME=角EMC=90度
因为AD是圆O的直径
所以角ACD=角ABD=90度
因为角ABD+角ABE=180度
所以角ABE=90度
因为角ACD+角MCF=180度
所以角MCF=90度
因为EF垂直CD交DC的延长线于F
所以角F=90度
因为角F+角MCF+角EMC+角MEF=360度
所以角MEF=90度
所以角MEF=角F=角MCF=角EMC=90度
所以四边形EMCF是矩形
所以EF=CM
ME=CF
因为角BAD=1/2(弧BC+弧DC)
角ADC=1/2(弧BC+弧AB)
角ADC=角BAD(已证)
所以弧AB=弧DC
所以AB=DC
因为AD=AD
所以三角形BAD和三角形CDA全等(SAS)
所以AC=BD
因为AT为圆O的切线
所以角EAM=角ADC
因为角AEB=角ADC(已证)
所以角EAM=角AEB
角ABE=角AME=90度
因为AE=AE
所以三角形BAE和三角形MEA全等(AAS)
所以AM=BE
因为AC=AM+CM
所以AC=BE+EF
所以BD=BE+EF
设AC与BD相交于O
因为三角形BAE和三角形MEA全等(已证)
所以AB=ME
因为AB=DC(已证)
ME=DC
因为ME=CF(已证)
所以DC=CF
因为角ACD=角F=90度(已证)
所以AC平行EF
所以OD/OE=DC/CF
所以OD=OE=1/2DE
所以AO是直角三角形DAE的中线
所以OA=OE=OD=1/2DE
因为AT是圆O的切线
所以角BAE=角ADE
AM^2=MB*CM
角MAB=角ACM
因为角AMB=角AMB
所以三角形AMB和三角形CMA相似(AA)
所以AB/AC=AM/CM
因为AM=3 MB=1
所以MC=9
因为BC+MB=MC
所以BC=9-1=8
AB/AC=1/3
因为AC=BD
所以AB/BD=1/3
因为角DAE=角ABE=90度
所以三角形BAE和三角形ABD(AA)
所以AB/BD=BE/AB
所以AB^2=BD*BE
所以BE=1/3AB
因为DE=BD+BE
所以DE=10/3AB
所以OD=5/3AB
因为OB=BD-OD
所以OB=4/3AB
所以OB/OD=4/5
因为AD平行BC
所以角OAD=角OCB
角ODA=角OBC
所以三角形OAD和三角形OBC相似(AA)
所以AD/BC=OD/OB
所以AD=10
在直角三角形ABD中,角ABD=90度
由勾股定理得:
AD^2=AB^2+BD^2
所以AB=根号10
所以BD=3倍根号10
BE=3分之一倍根号10
因为BD=BE+EF(已证)
所以EF=3分之8倍根号10