已知圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四个不同的点到直线L:Y=K(X-7)+6的距离等于√5,则K的取值范围是?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 01:57:46
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已知圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四个不同的点到直线L:Y=K(X-7)+6的距离等于√5,则K的取值范围是?
已知圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四个不同的点到直线L:Y=K(X-7)+6的距离等于√5,则K的取值范围是?
已知圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四个不同的点到直线L:Y=K(X-7)+6的距离等于√5,则K的取值范围是?
∵圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0的圆心为(2,1),半径为2√5
∴要使圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四个不同的点到直线L:Y=K(X-7)+6的距离等于√5,必须满足
圆心(2,1)到直线L:Y=K(X-7)+6的距离小于√5
∵直线L:Y=K(X-7)+6过定点(7,6)
∴点(2,1)和点(7,6)的距离等于5√2,直线的斜率=1(与x轴夹角为45°)
∵圆心(2,1)到直线L:Y=K(X-7)+6的距离小于√5可转换直线L:Y=K(X-7)+6与点(2,1)和点(7,6)的直线夹角α正切值小于√5/√(50-5)=1/3
∴直线L与x轴夹角在(45°-α,45°+α)
由tan45°=1,tanα=1/3得
tan(45°-α)=1/2,tan(45°+α)=2
∴K的取值范围是(1/2,2)
X²+Y²-4X-2Y-15=0
(x-2)²+(y-1)²=20
圆心C的坐标(2,1),圆半径为2√5
当圆心到直线的距离小于√5时,有四个不同的点到直线的距离等于√5
d=|2k-1+6-7k|/√(k²+1)<√5
即 |5-5k|/√(k²+1)<√5
25(1-k)²<...
全部展开
X²+Y²-4X-2Y-15=0
(x-2)²+(y-1)²=20
圆心C的坐标(2,1),圆半径为2√5
当圆心到直线的距离小于√5时,有四个不同的点到直线的距离等于√5
d=|2k-1+6-7k|/√(k²+1)<√5
即 |5-5k|/√(k²+1)<√5
25(1-k)²<5(k²+1)
4k²-10k+4<0
(4k-2)(k-2)<0
得 1/2
收起
由已知X²+Y²-4X-2Y-15=0整理为(x-2)^2+(y-1)^2=20,直线kx-y-7k+6=0
作图可知,要满足题意圆心(2,1)到直线的距离d
整理得(4k-2)(k-2)<0,即1/2