f(x)=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 16:23:13
![f(x)=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围.](/uploads/image/z/4110628-4-8.jpg?t=f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dlg%5B1%2B2%5Ex%2B3%5Ex%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%28n-1%29%5Ex%2Bn%5Exa%5D%2Fn%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADa%E6%98%AF%E5%AE%9E%E6%95%B0%2Cn%E6%98%AF%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%BB%99%E5%AE%9A%E7%9A%84%E6%AD%A3%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0%E4%B8%94n%E2%89%A52%2C%E5%A6%82%E6%9E%9Cf%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%BD%93x%E2%88%88%EF%BC%88-%E2%88%9E%2C1%5D%E6%97%B6%E6%9C%89%E6%84%8F%E4%B9%89%2C%E6%B1%82a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
f(x)=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围.
f(x)=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围.
f(x)=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围.
若f(x)有意义,1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa>0
等价于-a(1+2+3+……(n-1)/n=(n-1)/2
所以a∈(-(n-1)/2,∞)
证明:只需证明n≥2时,[1+2x+…+(n-1)x+nxa]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2xa],a∈(0,1],x≠0.
∵(a1+a2+…+an2)2=(a12+a22+…an2)+2(a1a2+a2a3+…+an-1an)≤(a12+a22+…an2)+[(a12+a22)+…+(a12+an2)]+[(a22+a32)+…+(a22+an2)]+…+[(an-22+...
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证明:只需证明n≥2时,[1+2x+…+(n-1)x+nxa]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2xa],a∈(0,1],x≠0.
∵(a1+a2+…+an2)2=(a12+a22+…an2)+2(a1a2+a2a3+…+an-1an)≤(a12+a22+…an2)+[(a12+a22)+…+(a12+an2)]+[(a22+a32)+…+(a22+an2)]+…+[(an-22+an-12)+(an-22+an2)]+(an-12+an2)
=n(a12+a22+…+an2).
于是(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)当a1=a2=…=an时成立.
利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+nxa]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2xa],a∈(0,1],
当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有
[1+2x+…+(n-1)x+nxa]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2xa],即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.
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