已知a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd,且a.b.c.d均为正数,试判断以a,b,c,d为边的四边形是什么状,请说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 06:38:53
![已知a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd,且a.b.c.d均为正数,试判断以a,b,c,d为边的四边形是什么状,请说明理由.](/uploads/image/z/3812644-28-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%E7%9A%844%E6%AC%A1%E6%96%B9%2Bb%E7%9A%844%E6%AC%A1%E6%96%B9%2Bc%E7%9A%844%E6%AC%A1%E6%96%B9%2Bd%E7%9A%844%E6%AC%A1%E6%96%B9%3D4abcd%2C%E4%B8%94a.b.c.d%E5%9D%87%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B0%2C%E8%AF%95%E5%88%A4%E6%96%AD%E4%BB%A5a%2Cb%2Cc%2Cd%E4%B8%BA%E8%BE%B9%E7%9A%84%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E6%98%AF%E4%BB%80%E4%B9%88%E7%8A%B6%2C%E8%AF%B7%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.)
已知a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd,且a.b.c.d均为正数,试判断以a,b,c,d为边的四边形是什么状,请说明理由.
已知a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd,且a.b.c.d均为正数,试判断以a,b,c,d为边的四边形是什么
状,请说明理由.
已知a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd,且a.b.c.d均为正数,试判断以a,b,c,d为边的四边形是什么状,请说明理由.
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4=4abcd-2a^2b^2-2c^2d^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=-2(ab-cd)^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
平方相加等于0,所以每一个平方都等于0
(a^2-b^2)^2=(c^2-d^2)^2=(ab-cd)^2=0
a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0
a,b,c,d都大于0
a^2=b^2,所以a=b
c^2=d^2,所以c=d
ab-cd=0
ab=cd
把a=b和c=d代入
b^2=d^2,b=d
所以a=b=c=d
为正方形
由平均值不等式有
(a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方)/4 >= abcd
且,只有在a=b=c=d时,等号成立
所以四边形是菱形
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0
(a^4+b^4-2a^2b^2)+2a^2b^2+(c^4+d^4-2c^2d^2)+2c^2d^2-4abcd=0
即可变为(a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^4)-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2b^2+c^2d^2-...
全部展开
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0
(a^4+b^4-2a^2b^2)+2a^2b^2+(c^4+d^4-2c^2d^2)+2c^2d^2-4abcd=0
即可变为(a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^4)-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2b^2+c^2d^2-2abcd)=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
由于三项都是平方式所以
(a^2-b^2)^2=0,可得a^2-b^2=0,再得a=b;
(c^2-d^2)^2=0,可得c^2-d^2=0,再得c=d;
2(ab-cd)^2=0,可得ab=cd,以上的代入得a^2=c^2, 从而得出:a=b=c=d。
所以是正方形
收起