已知在三角形ABC中,AB=AC,AD垂直平面ABC,EC垂直平面ABC,且EC=2AD.求证平面BDE垂直平面BEC求图 不要只告诉我ED CA延长交于F
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 17:23:40
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已知在三角形ABC中,AB=AC,AD垂直平面ABC,EC垂直平面ABC,且EC=2AD.求证平面BDE垂直平面BEC求图 不要只告诉我ED CA延长交于F
已知在三角形ABC中,AB=AC,AD垂直平面ABC,EC垂直平面ABC,且EC=2AD.求证平面BDE垂直平面BEC
求图 不要只告诉我ED CA延长交于F
已知在三角形ABC中,AB=AC,AD垂直平面ABC,EC垂直平面ABC,且EC=2AD.求证平面BDE垂直平面BEC求图 不要只告诉我ED CA延长交于F
方法一:
延长ED交CA的延长线于F.
∵AD⊥平面ABC、CE⊥平面ABC,∴AD∥CE,又CE=2AD,∴AC=AF,又AB=AC,
∴AB=AC=AF,∴A是△BCF的外心,∴BF⊥BC.
∵CE⊥平面ABC,而BF在平面ABC上,∴BF⊥CE.
由BF⊥BC、BF⊥CE、BC∩CE=C,得:BF⊥平面BEC,∴平面BEF⊥平面BEC,
∴平面BDE⊥平面BEC.
方法二:
分别取BE、BC的中点为G、H.
∵G、H分别是BE、BC的中点,∴GH是△BCE的中位线,∴GH∥CE、且GH=CE/2.
∵CE=2AD,∴AD=CE/2 ,∴AD=GH.
∵CE⊥平面ABC、AD⊥平面ABC,∴CE∥AD,而GH∥CE,∴GH∥AD.
由AD=GH、GH∥AD,得:ADGH是平行四边形,∴DG∥AH.
∵AB=AC,H∈BC且BH=CH,∴AH⊥BC,而DG∥AH,∴DG⊥BC.
∵CE⊥平面ABC,而AH在平面ABC上,∴AH⊥CE,而DG∥AH,∴DG⊥CE.
由DG⊥BC、DG⊥CE、BC∩CE=C,得:DG⊥平面BEC,而DG在平面BDE上,
∴平面BDE⊥平面BEC.