已知函数f(x)=ax^2+bx+c+4lnx的极值点为1和2.(1)求实数a,b的值(2)讨论方程f(x)=3x^2根的个数(3)设h(x)=1/4*f(x)-1/4*x^2+3/2*x,斜率为k的直线与曲线y=h(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 02:09:29
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已知函数f(x)=ax^2+bx+c+4lnx的极值点为1和2.(1)求实数a,b的值(2)讨论方程f(x)=3x^2根的个数(3)设h(x)=1/4*f(x)-1/4*x^2+3/2*x,斜率为k的直线与曲线y=h(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)
已知函数f(x)=ax^2+bx+c+4lnx的极值点为1和2.(1)求实数a,b的值
(2)讨论方程f(x)=3x^2根的个数(3)设h(x)=1/4*f(x)-1/4*x^2+3/2*x,斜率为k的直线与曲线y=h(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1
<x2)两点,试比较1/k与(x1+x2)/2的大小,并给予证明
已知函数f(x)=ax^2+bx+c+4lnx的极值点为1和2.(1)求实数a,b的值(2)讨论方程f(x)=3x^2根的个数(3)设h(x)=1/4*f(x)-1/4*x^2+3/2*x,斜率为k的直线与曲线y=h(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)
(1)f(x)'=2ax+b+4/x
因为函数有极值点1和2,所以
f(1)'=2a+b+4=0
f(2)'=4a+b+2=0
解得 a=1,b=-6
(2) 由(1)得f(x)=x^2-6x+c+4lnx
所以 f(x)=3x^2 即为 x^2-6x+c+4lnx=3x^2
2 x^2+6x-c-4lnx=0
令g(x)=2 x^2+6x-c-4lnx
g(x)'=4x+6-4/x
令g(x)'=0,有x=-2(舍),x=1/2
当0<x<1/2时,g(x)'<0,g(x)为减函数
当x>1/2时,g(x)'>0,g(x)为增函数
所以当x=1/2时,函数g(x)取最小值7/2+4ln2-c
当c>7/2+4ln2时,g(1/2)<0,方程有两个根
当c=7/2+4ln2时,g(1/2)=0,方程有一个根
当c<7/2+4ln2时,g(1/2)>0,方程没有根
(3)h(x)=1/4*f(x)-1/4*x^2+3/2*x
=lnx+1/4*c
假设直线方程y=kx+b
令kx1+b=lnx1+1/4*c
kx1+b+kx2+b=lnx1+1/4*c+lnx1+1/4*c
整理得:(x1+x2)/2=(lnx1+lnx2+1/2*c-b)/k
要比较 1/k与(x1+x2)/2的大小,就是要比较1与lnx1+lnx2+1/2*c-b的大小.
令Y=lnx1+lnx2+1/2*c-b-1
=lnx1x2+1/2*c-b-1