设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x).问是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<1/x 对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 00:43:37
![设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x).问是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<1/x 对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.](/uploads/image/z/3502245-21-5.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8%280%2C%2B%E2%88%9E%29%E4%B8%8A%2Cf%281%29%3D0%2C%E5%AF%BC%E5%87%BD%E6%95%B0f%27%28x%29%3D1%2Fx%2Cg%28x%29%3Df%28x%29%2Bf%27%28x%29.%E9%97%AE%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8x0%EF%BC%9E0%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%7Cg%28x%29%EF%BC%8Dg%28x0%29%7C%EF%BC%9C1%2Fx+%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8Fx%EF%BC%9E0%E6%88%90%E7%AB%8B%3F%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E6%B1%82%E5%87%BAx0%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4%EF%BC%9B%E8%8B%A5%E4%B8%8D%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E8%AF%B7%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.)
设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x).问是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<1/x 对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.
设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x).
问是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<1/x 对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.
设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x).问是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<1/x 对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.
证明:假设存在x0>0,
使|g(x)-g(x0)|<1/x 成立,即对任意x>0,
有 Inx<g(x0)<Inx+2/x ,(*)但对上述x0,取x1=eg(x0) 时,
有 Inx1=g(x0),这与(*)左边不等式矛盾,
因此,不存在x0>0,使|g(x)-g(x0)|<1/x 成立.
当然,方法不止一种,这种应该比较好的.若不懂,
答:不存在这样的x0.
证明:
由于f'(x)=1/x,且x定义在(0,+∞)上,所以f(x)=lnx+C。
又因为f(1)=0,故C=0,故f(x)=lnx。
因此,g(x)=lnx+1/x。
若存在这样的x0,则假设g(x0)=t。
由:|g(x)-g(x0)|<1/x
解得:lnx
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答:不存在这样的x0.
证明:
由于f'(x)=1/x,且x定义在(0,+∞)上,所以f(x)=lnx+C。
又因为f(1)=0,故C=0,故f(x)=lnx。
因此,g(x)=lnx+1/x。
若存在这样的x0,则假设g(x0)=t。
由:|g(x)-g(x0)|<1/x
解得:lnx
由此形式知,对任意一个固定的δ,t都不是定值,因此对应的x0也不固定。
故不存在这样的x0使对一切正的实数x都有|g(x)-g(x0)|<1/x成立。
证毕|
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