已知四棱锥P-ABCD的底面边长为a的菱形,角ABC=120°,PC垂直平面ABCD,PC=a,E为PA的中点.(1)求证:平面EBD垂直平面ABCD(2)求二面角A-BE-D的大小(请用空间向量求解)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 23:27:38
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已知四棱锥P-ABCD的底面边长为a的菱形,角ABC=120°,PC垂直平面ABCD,PC=a,E为PA的中点.(1)求证:平面EBD垂直平面ABCD(2)求二面角A-BE-D的大小(请用空间向量求解)
已知四棱锥P-ABCD的底面边长为a的菱形,角ABC=120°,PC垂直平面ABCD,PC=a,E为PA的中点.(1)求证:平面EBD垂直平面ABCD(2)求二面角A-BE-D的大小(请用空间向量求解)
已知四棱锥P-ABCD的底面边长为a的菱形,角ABC=120°,PC垂直平面ABCD,PC=a,E为PA的中点.(1)求证:平面EBD垂直平面ABCD(2)求二面角A-BE-D的大小(请用空间向量求解)
证明:
连接AC,BD交于O,连接EO
∵ABCD为菱形
∴O是AC中点
∵E是PA中点
∴OE||PC
∵PC垂直平面ABCD
∴OE⊥平面ABCD
∴平面EBD垂直平面ABCD
2.过C作CF⊥AB延长线于F
∴CF⊥CD
建立以C为原点,CF为x轴,CD为y轴,CP为z轴的空间直角坐标系
∵∠ABC=120°
∴∠CBF=60°
∴BF=1/2a
∴B(√3/2a,1/2a,0) A(√3/2a,3/2a,0) E(√3/4a,3/4a,1/2a) D(0,a,0)
向量BE=(-√3/4a,1/4a,1/2a)
向量BD=(-√3/2a,1/2a,0)
向量BA=(0,a,0)
设向量m,n分别是平面ABE和BED的法向量
m·BE=0 n·BE=0
m·BA=0 n·BD=0
不妨设m=(a,0,√3/2a),n=(a,√3a,0)
cos=a^2/√7a^2=√7/7
二面角A-BE-D=arccos√7/7
http://zhidao.baidu.com/question/190025581.html
其中的1、3问对你有用