求曲线x^2-y^2=3和x^2+y^2-z^2=4在点(-2,-1,1)处的切线及法平面方程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 17:45:46
![求曲线x^2-y^2=3和x^2+y^2-z^2=4在点(-2,-1,1)处的切线及法平面方程.](/uploads/image/z/2797893-45-3.jpg?t=%E6%B1%82%E6%9B%B2%E7%BA%BFx%5E2-y%5E2%3D3%E5%92%8Cx%5E2%2By%5E2-z%5E2%3D4%E5%9C%A8%E7%82%B9%EF%BC%88-2%2C-1%2C1%EF%BC%89%E5%A4%84%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E5%8F%8A%E6%B3%95%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E6%96%B9%E7%A8%8B.)
求曲线x^2-y^2=3和x^2+y^2-z^2=4在点(-2,-1,1)处的切线及法平面方程.
求曲线x^2-y^2=3和x^2+y^2-z^2=4在点(-2,-1,1)处的切线及法平面方程.
求曲线x^2-y^2=3和x^2+y^2-z^2=4在点(-2,-1,1)处的切线及法平面方程.
x^2-y^2=3 (1)
x^2+y^2-z^2=4 (2)
(1)(2)分别对x求导:
2x-2ydy/dx=0
2x+2ydy/dx-2zdz/dx=0
所以:dy/dx=x/y
dz/dx=2x/z
所以dy/dx |(-2,-1,1)=2 dz/dx |(-2,-1,1)=-4
所以切线方程是:(x+2)/1=(y+1)/2=(z-1)/-4
法平面方程是:(x+2)*1+(y+1)*2+(z-1)*(-4)=0
就是x+2y-4z+8=0
Z=X2-Z2 且切平面过(3,5,4)
Z'x=2X =6 ,在Y= 5这个平面(Z-X)上导数为6,
∴可以得到一条切线,方向向量可以是(1,0,6),且过切点(3,5,4)
Z'y=2Y=10,在X= 5这个平面(Z-Y)上导数为10,
∴可以得到另一条切线,方向向量可以是(0,1,10),且过切点(3,5,4)
最后,根据这两条切线方程,可以算出...
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Z=X2-Z2 且切平面过(3,5,4)
Z'x=2X =6 ,在Y= 5这个平面(Z-X)上导数为6,
∴可以得到一条切线,方向向量可以是(1,0,6),且过切点(3,5,4)
Z'y=2Y=10,在X= 5这个平面(Z-Y)上导数为10,
∴可以得到另一条切线,方向向量可以是(0,1,10),且过切点(3,5,4)
最后,根据这两条切线方程,可以算出平面方程了
答案是:(X-3)/6=(Y-4)/10=5-Z
当然也可以用公式:曲面Z=F(X,Y)在点(a,b,c)处的切面方程是:
(X-a)/-Z'x(a,b)=(Y-b)/-Z'y(a,b)=(Z-c)
求采纳
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