已知2x²+6y²=3,那么x+y的最大值是
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 20:13:33
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已知2x²+6y²=3,那么x+y的最大值是
已知2x²+6y²=3,那么x+y的最大值是
已知2x²+6y²=3,那么x+y的最大值是
有没有搞错,楼上两位,明明简单的题目要这么麻烦算
由柯西不等式得
(1/2+1/6)(2x^2+6y^2)≥(√2/2×√2x+√6/6×√6y)^2
即2/3×3≥(x+y)^2
(x+y)^2≤2
-√2≤x+y≤√2
故x+y的最大值为√2
令x+y=t
x=t-y 代入2x²+6y²=3中,得
2(t^2-2ty+y^2)+6y^2-3=9
8y^2-4ty+(2t^2-3)=0
判别式=16t^2-32(2t^2-3)>=0
t^2-2(2t^2-3)>=0
-3t^2+6>=0
t^2<=2
-√2<=t<=√2
x+y的最大值是=√2
由Cauchy不等式得
(1/2+1/6)(2x^2+6y^2)≥(√2/2×√2x+√6/6×√6y)^2
即2/3×3≥(x+y)^2
(x+y)^2≤2
-√2≤x+y≤√2
∴x+y的最大值为√2
设x+y=t ,y=t-x代入2x²+6y²=3
得: 2x²+6(t-x)²-3=0
即 8x²-12tx+6t²-3=0
则方程有解
∴Δ=144t²-32(6t²-3)≥0
∴-48t²+96≥0 ∴t²≤2
∴-√2≤t≤√2
∴x+y的最大值为√2