数列{an}各项均为正数,Sn=1/2(an+1/an).用数学归纳法证明:an=√n-√(n-1)求求帮忙了!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 00:31:59
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数列{an}各项均为正数,Sn=1/2(an+1/an).用数学归纳法证明:an=√n-√(n-1)求求帮忙了!
数列{an}各项均为正数,Sn=1/2(an+1/an).用数学归纳法证明:an=√n-√(n-1)
求求帮忙了!
数列{an}各项均为正数,Sn=1/2(an+1/an).用数学归纳法证明:an=√n-√(n-1)求求帮忙了!
证明:当n=1时
S1=1/2(a1+1/a1)
S1=a1
所以
a1=1/2(a1+1/a1)
a1²=1
因为a1>0
所以
左式=a1=1
右式=√1-√1-1=1
左式=右式
所以假设n=k时,等式成立,即ak=√k-√(k-1)
1/ak=√k+√(k+1)
当n=k+1时
左式=a(k+1)
S(k+1)=1/2【a(k+1)+1/a(k+1)】
S(k+1)=Sk+a(k+1)=1/2(ak+1/ak)+a(k+1)=√k+a(k+1)
所以
1/2【a(k+1)+1/a(k+1)】=√k+a(k+1)
a(k+1)+1/a(k+1)=2√k+2a(k+1)
a²(k+1)+2√ka(k+1)-1=0
a(k+1)=【-2√k±√(4k+4)】/2
因为a(k+1)>0
所以a(k+1)=√(k+1)-√k
右式=√(k+1)-√k
左式=右式
命题成立