x、y独立同分布随机变量,x+y与x-y独立,Ex=0,Dx=1,证明x~N(0,1)我用Laplace变换做,最后有个函数方程不会解;可能用特征函数也可以做,但最后也得解一个函数方程.我得到了Lx(2t)=Lx(t)^3*Lx(-t)谁还有别
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 01:50:23
![x、y独立同分布随机变量,x+y与x-y独立,Ex=0,Dx=1,证明x~N(0,1)我用Laplace变换做,最后有个函数方程不会解;可能用特征函数也可以做,但最后也得解一个函数方程.我得到了Lx(2t)=Lx(t)^3*Lx(-t)谁还有别](/uploads/image/z/2651290-34-0.jpg?t=x%E3%80%81y%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E5%90%8C%E5%88%86%E5%B8%83%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E5%8F%98%E9%87%8F%2Cx%2By%E4%B8%8Ex-y%E7%8B%AC%E7%AB%8B%2CEx%3D0%2CDx%3D1%2C%E8%AF%81%E6%98%8Ex%7EN%280%2C1%29%E6%88%91%E7%94%A8Laplace%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%81%9A%2C%E6%9C%80%E5%90%8E%E6%9C%89%E4%B8%AA%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E4%B8%8D%E4%BC%9A%E8%A7%A3%EF%BC%9B%E5%8F%AF%E8%83%BD%E7%94%A8%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B9%9F%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%81%9A%2C%E4%BD%86%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B9%9F%E5%BE%97%E8%A7%A3%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B.%E6%88%91%E5%BE%97%E5%88%B0%E4%BA%86Lx%282t%29%3DLx%28t%29%5E3%2ALx%28-t%29%E8%B0%81%E8%BF%98%E6%9C%89%E5%88%AB)
x、y独立同分布随机变量,x+y与x-y独立,Ex=0,Dx=1,证明x~N(0,1)我用Laplace变换做,最后有个函数方程不会解;可能用特征函数也可以做,但最后也得解一个函数方程.我得到了Lx(2t)=Lx(t)^3*Lx(-t)谁还有别
x、y独立同分布随机变量,x+y与x-y独立,Ex=0,Dx=1,证明x~N(0,1)
我用Laplace变换做,最后有个函数方程不会解;可能用特征函数也可以做,但最后也得解一个函数方程.我得到了Lx(2t)=Lx(t)^3*Lx(-t)
谁还有别的思路做这个题,要完整答案,或者解出上面的函数方程.
这个题目应该不难,我钻入牛角尖了,而且那个函数方程要放到高中那会儿我可能还会解,高中数学竞赛关于柯西方程会有很多变种,通过变换或者解微分方程可以求出。我是忘了,懒得查那些技巧。
或者有人能说明x是对称的也可以。有了这个条件,这个函数方程就是浮云了。
x、y独立同分布随机变量,x+y与x-y独立,Ex=0,Dx=1,证明x~N(0,1)我用Laplace变换做,最后有个函数方程不会解;可能用特征函数也可以做,但最后也得解一个函数方程.我得到了Lx(2t)=Lx(t)^3*Lx(-t)谁还有别
下面给出利用特征函数所进行的严格证明.
证明:记h_{X}(t)为随机变量X的特征函数(注:记号“h_{X}”中的“_”表示“下标”;下文中的记号“^”表示“上标”,用来表示幂运算,如2^n是2的n次方).由于X和Y是相互独立同分布的,X+Y和X-Y是相互独立的,利用特征函数的性质得:
h_{X}(2t)=h_{2X}(t)=h_{(X+Y)+(X-Y)}(t)=h_{(X+Y)}(t)*h_{(X-Y)}(t) (注:*是乘以号)
=[h_{X}(t)]^3*h_{X}(-t) (1)
将上式中的t取为-t得:
h_{X}(-2t)=[h_{X}(-t)]^3*h_{X}(t) (2)
为了简化记号,在不会产生误会的前提下,将X的特征函数h_{X}(t)]简记为h(t)].令
g(t)=h(t)/h(-t),
由(1)和(2)得
g(2t)=[g(t)]^2
由X的数学期望为0,易得g’(0)=0.因此:
g(t)=[g(t/2)]^2=[g(t/(2^2))]^(2^2)=...=[g(t/(2^n))^(2^n)
=[g(0)+h’(0)t/(2^n)+o(t/(2^n))]^(2^n) (注:记号“o(x)”表示“x的高阶无穷小”)
=[1+o(t/(2^n))]^(2^n) 趋向于 1 (当n趋于正无穷大时)
所以g(t)恒等于1,也即h_{X}(t)=h_{-X}(t)对任意t成立,换言之,X与-X具有相同的特征函数.由此可将(1)写成:
h(2t)=[h(t)]^4
进而得:
h(t)=[h(t/2)]^4=[h(t/(2^2))]^(4^2)=...=[h(t/(2^n))]^(4^n)
由泰勒公式,并由h(0)=1,h'(0)=E(X)=0,h''(0)=-E(X^2)=-Var(X)=1,得:
h(t)=[h(t/(2^n))]^(4^n)
=[h(0)+h’(0)*t/(2^n)+(1/2)*h’’(0)*t^2/(4^n)+o(t^2/(4^n))]^(4^n)
=[1-(1/2)t^2/(4^n)+ o(t^2/(4^n))]^(4^n) 趋向于 e^(-t^2/2) (当n趋于正无穷大时)
即 h(t)=e^(-t^2/2),这正是标准正态分布随机变量的特征函数,所以X服从N(0,1).
值得一提的是,若假定X是连续型随机变量,则可利用密度函数的性质进行证明.当然利用特征函数进行证明是更一般的方法,无需事先假定X为连续型的随机变量.