双曲线x^2/4-y^2/b^2=1的两个焦点为F1.F2,P为双曲线上一点,OP
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 15:57:21
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双曲线x^2/4-y^2/b^2=1的两个焦点为F1.F2,P为双曲线上一点,OP
双曲线x^2/4-y^2/b^2=1的两个焦点为F1.F2,P为双曲线上一点,OP
双曲线x^2/4-y^2/b^2=1的两个焦点为F1.F2,P为双曲线上一点,OP
似乎少条件吧?
应该还有b∈N这个条件
∵F1F2²=PF1*PF2
∴4c²=PF1*PF2
∵PF1-PF2=4
∴PF1²+PF2²-2PF1*PF2=16
即:PF1²+PF2²-8c²=16 ①
设:∠POF1=θ,则:∠POF2=π-θ
由余弦定理可得:PF2²=c²+OP²-2OF2*OP*cos(π-θ),PF1²=c²+OP²-2OF1*OP*cosθ
整理得:PF2²+PF1²=2c²+2OP² ②
由①②化简得:OP²=8+3c²=20+3b²
∵OP<5
∴20+3b²<25
∵b∈N
∴b²=1
由题意,|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列可知,|F1F2|2=|PF1||PF2|,
即4c2=|PF1||PF2|,
由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=4,即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16,
可得|PF1|2+|PF2|2-8c2=16…①
设∠POF1=θ,则∠POF2=π-θ,
由余弦定理可得:|PF2|...
全部展开
由题意,|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列可知,|F1F2|2=|PF1||PF2|,
即4c2=|PF1||PF2|,
由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=4,即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16,
可得|PF1|2+|PF2|2-8c2=16…①
设∠POF1=θ,则∠POF2=π-θ,
由余弦定理可得:|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2||OP|cos(π-θ),|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|cosθ,
|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2,…②,
由①②化简得:|OP|2=8+3c2=20+3b2.
因为|OP|<5,b∈N,所以20+3b2<25.
所以b=1.
故答案为:1.
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