【急求】求证不等式:x²+y²+z²≥xy+yz+xz
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 03:08:57
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【急求】求证不等式:x²+y²+z²≥xy+yz+xz
【急求】求证不等式:x²+y²+z²≥xy+yz+xz
【急求】求证不等式:x²+y²+z²≥xy+yz+xz
做差法
x²+y²+z²-(xy+yz+xz)
=1/2[2x²+2y²+2z²-(2xy+2yz+2xz)]
配方
=1/2[(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²]≥0
所以我们可以做了
证明
因为1/2[(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²]≥0
所以1/2[2x²+2y²+2z²-(2xy+2yz+2xz)]≥0
所以x²+y²+z²-(xy+yz+xz)≥0
2[x²+y²+z²-(xy+yz+xz)]
=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0,
∴x²+y²+z²≥xy+yz+xz。
因为
2(x²+y²+z²)-2(xy+yz+xz)
=(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²≥0
所以,
2(x²+y²+z²)≥2(xy+yz+xz)
即,x²+y²+z²≥xy+yz+xz
2[x²+y²+z²-(xy+yz+xz)]=(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²≥0
x²+y²+z²-(xy+yz+xz)≥0
x²+y²+z²≥xy+yz+xz
证明:要证明 x²+y²+z²≥xy+yz+xz
即只要证明:2x²+2y²+2z²≥2xy+2yz+2xz
x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+x^2-2xz+z^2>=0
变形为: (x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2>=0
所以 x²+y²+z²≥xy+yz+xz 成立