如果函数f(x)=-x²+2x的定义域为【m,n】,值域为【-3,1】,求(m-n)的绝对值的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 05:14:54
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如果函数f(x)=-x²+2x的定义域为【m,n】,值域为【-3,1】,求(m-n)的绝对值的最小值.
如果函数f(x)=-x²+2x的定义域为【m,n】,值域为【-3,1】,求(m-n)的绝对值的最小值.
如果函数f(x)=-x²+2x的定义域为【m,n】,值域为【-3,1】,求(m-n)的绝对值的最小值.
f(x)=-x²+2x=-(x²-2x)=1-(x-1)²
值域为【-3,1】,即:1-(x-1)²∈[-3,1]
-3<=1-(x-1)²<=1
-1<=(x-1)²-1<=3
0<=(x-1)²<=4
-2<=x-1<=2
-1<=x<=3
x的定义域最大解集为[-1,3]!
但由于f(x)=最大值1时,x=1,故x=1必须包括在定义域内!
同时,f(x)=最小值-3时,x=-1或3,故x=-1或x=3至少有一个要包括在定义域内
定义域如:[-1,1]或[1,3]或[-1,2]或[-1,3]……均可!但[0,2],(-1,2]等则不可!
即m= -1时1≤n≤3,或-1≤m≤1时n=3,
|m-n|=n-m,显然最小为2,如m=-1,n=1或m=1,n=3时取得!最大值为4,m=-1,n=3时取得.
最终答案:2
最小值为2.
y= -x²+2x
= -(x-1)²+1
令y= -3,得x=-1,或3
∴由函数的值域为[-3,1],可知,
函数的定义域应满足:m= -1且1≤n≤3,或-1≤m≤1且n=3,
又n>m,∴|m-n|=n-m≥2.
f(x)=-x²+2x为一条抛物线,要使得(m-n)的绝对值最小,只能是当定义域位于对称轴一侧时,然后假设定义域在对称轴左侧或右侧,求出值域(用m,n表示),然后与【-3,1】比较,应该就可以求出