如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2(1)求证:平面ABC垂直平面APC (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 05:50:04
![如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2(1)求证:平面ABC垂直平面APC (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值](/uploads/image/z/2503595-11-5.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E4%B8%89%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABC%E4%B8%AD%2CPA%3DPB%3DPC%3DAC%3D4%2CAB%3DBC%3D2%E6%A0%B9%E5%8F%B72%281%29%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABC%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E9%9D%A2APC+%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E7%9B%B4%E7%BA%BFPA%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2PBC%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%80%BC)
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2(1)求证:平面ABC垂直平面APC (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2
(1)求证:平面ABC垂直平面APC (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2(1)求证:平面ABC垂直平面APC (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值
第一个问题:
取AC的中点为D.
∵AB=BC=2√2、AC=4,∴AB^2+BC^2=AC^2,∴由勾股定理的逆定理,有:AB⊥BC.
由AB⊥BC、AD=CD,得:BD=AC/2=2.
∵PA=PC=AC=4,∴AD=CD=2、PD⊥CD,∴PD=√3CD=2√3.
∵PD=2√3、BD=2、PB=4,∴PD^2+BD^2=PB^2,∴由勾股定理的逆定理,有:BD⊥PD.
由AB=BC、D∈AC且AD=CD,得:BD⊥AC.
由BD⊥AC、BD⊥PD、AC∩PD=D,得:BD⊥平面APC,而BD在平面ABC上,
∴平面ABC⊥平面APC.
第二个问题:
取BC的中点为E,过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F.
∵PB=PC=4、BC=2√2,又BE=CE,∴BE⊥PE、BE=√2,
∴由勾股定理,有:PE=√(PB^2-BE^2)=√(16-2)=√14.
∴S(△PBC)=(1/2)BC×PE=(1/2)×2√2×√14=2√7.
∴V(A-PBC)=(1/3)S(△PBC)×AF=(1/3)×2√7AF.
∵PA=PC=AC=4,∴S(△PAC)=(1/2)AC×PD=(1/2)×4×2√3=4√3.
∵BD⊥平面PAC,∴V(B-PAC)=(1/3)S(△PAC)×BD=(1/3)×4√3×2=8√3/3.
显然有:V(A-PBC)=V(B-PAC),∴(1/3)×2√7AF=8√3/3,∴AF=4√3/√7.
∴sin∠APF=AF/PA=(4√3/√7)/4=√3/√7=√21/7.
∵AF⊥平面PBC,∴∠APF就是PA与平面PBC所成的角.
∴PA与平面PBC所成角的正弦值为 √21/7.