矩形ABCD中,CE⊥BD于点E,AF平分∠BAD交EC的延长线于点F求证:CA=CF.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 10:01:23
![矩形ABCD中,CE⊥BD于点E,AF平分∠BAD交EC的延长线于点F求证:CA=CF.](/uploads/image/z/2395124-44-4.jpg?t=%E7%9F%A9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CCE%E2%8A%A5BD%E4%BA%8E%E7%82%B9E%2CAF%E5%B9%B3%E5%88%86%E2%88%A0BAD%E4%BA%A4EC%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%BA%8E%E7%82%B9F%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ACA%3DCF%EF%BC%8E)
矩形ABCD中,CE⊥BD于点E,AF平分∠BAD交EC的延长线于点F求证:CA=CF.
矩形ABCD中,CE⊥BD于点E,AF平分∠BAD交EC的延长线于点F求证:CA=CF.
矩形ABCD中,CE⊥BD于点E,AF平分∠BAD交EC的延长线于点F求证:CA=CF.
证明:延长DC交AF于H,显然∠FCH=∠DCE.
又在Rt△BCD中,由于CE⊥BD,故∠DCE=∠DBC.
因为矩形对角线相等,
所以△DCB≌△CDA,从而∠DBC=∠CAD,
因此∠FCH=∠CAD.①
又AG平分∠BAD=90°,
所以△ABG是等腰直角三角形,
从而易证△HCG也是等腰直角三角形,
所以∠CHG=45°.
由于∠CHG是△CHF的外角,
所以∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°,
所以∠CFH=45°-∠FCH.②
由①,②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF,
于是在三角形CAF中,有CA=CF.