已知,如图在矩形ABCD中,E为AD中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE)设AB:BC=K,是否存在这样的K值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出K的值;若不存在,说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 07:42:19
![已知,如图在矩形ABCD中,E为AD中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE)设AB:BC=K,是否存在这样的K值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出K的值;若不存在,说明理由.](/uploads/image/z/2394916-52-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%2C%E5%A6%82%E5%9B%BE%E5%9C%A8%E7%9F%A9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CE%E4%B8%BAAD%E4%B8%AD%E7%82%B9%2CEF%E2%8A%A5EC%E4%BA%A4AB%E4%BA%8EF%2C%E8%BF%9E%E7%BB%93FC%28AB%3EAE%29%E8%AE%BEAB%EF%BC%9ABC%3DK%2C%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E8%BF%99%E6%A0%B7%E7%9A%84K%E5%80%BC%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%E2%96%B3AEF%E2%88%BD%E2%96%B3BFC%2C%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%BD%A0%E7%9A%84%E7%BB%93%E8%AE%BA%E5%B9%B6%E6%B1%82%E5%87%BAK%E7%9A%84%E5%80%BC%EF%BC%9B%E8%8B%A5%E4%B8%8D%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.)
已知,如图在矩形ABCD中,E为AD中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE)设AB:BC=K,是否存在这样的K值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出K的值;若不存在,说明理由.
已知,如图在矩形ABCD中,E为AD中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE)
设AB:BC=K,是否存在这样的K值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出K的值;若不存在,说明理由.
已知,如图在矩形ABCD中,E为AD中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE)设AB:BC=K,是否存在这样的K值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出K的值;若不存在,说明理由.
设AD=2x,AB=b,DG=AF=a,则FB=b-a,
∵∠GEC=90°,ED⊥CD,
∴ED2=GD•CD
∴x2=ab,
假定△AEF与△BFC相似,则有两种情况:
一是∠AFE=∠BCF;则∠AFE与∠BFC互余,于是∠EFC=90°,因此此种情况是不成立的.
二是∠AFE=∠BFC.
根据△AEF∽△BFC,
于是:AF:AE =BF :BC
即a :x =b-a :2x ,得b=3a
所以x2=ab=3a2,因此x=√3a
于是k=AB :BC =b :2x =3a :2 √3 a = √3:2 .
(1)△AEF∽△ECF.证明如下:
延长FE与CD的延长线交于G,
∵E为AD的中点,AE=DE,∠AEF=∠GED,
∴Rt△AEF≌Rt△DEG.
∴EF=EG.
∵CE=CE,∠FEC=∠CEG=90°,
∴Rt△EFC≌Rt△EGC.
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC.
又∵∠A=∠FEC=90°,
∴Rt△AEF∽R...
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(1)△AEF∽△ECF.证明如下:
延长FE与CD的延长线交于G,
∵E为AD的中点,AE=DE,∠AEF=∠GED,
∴Rt△AEF≌Rt△DEG.
∴EF=EG.
∵CE=CE,∠FEC=∠CEG=90°,
∴Rt△EFC≌Rt△EGC.
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC.
又∵∠A=∠FEC=90°,
∴Rt△AEF∽Rt△ECF.
(2)设AD=2x,AB=b,DG=AF=a,则FB=b-a,
∵∠GEC=90°,ED⊥CD,
∴ED2=GD•CD
∴x2=ab,
假定△AEF与△BFC相似,则有两种情况:
一是∠AFE=∠BCF;则∠AFE与∠BFC互余,于是∠EFC=90°,因此此种情况是不成立的.
二是∠AFE=∠BFC.
根据△AEF∽△BFC,
于是:AF AE =BF BC ,即a x =b-a 2x ,得b=3a.
所以x2=ab=3a2,因此x= 3 a,
于是k=AB BC =b 2x =3a 2 3 a = 3 2 .
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.(1)相似,如图2,证明:延长EF与CD的延长线交于点G.在Rt△AEF与Rt△DEG中,∵ E是AD的中点,∴ AE=ED.∠AEF=∠DEG,∴ △AFE≌△DGE.∴ △AFE=△DGE.∴ E为FG的中点.又CE⊥FG,∴ FC=GC.∴ ∠CFE=∠G.∴ ∠AFE=∠EFC.又△AEF与△EFC均为五角三角形,∴ △AEF∽△EFC.
(2)①存在.如果∠BCF=∠AEF,...
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.(1)相似,如图2,证明:延长EF与CD的延长线交于点G.在Rt△AEF与Rt△DEG中,∵ E是AD的中点,∴ AE=ED.∠AEF=∠DEG,∴ △AFE≌△DGE.∴ △AFE=△DGE.∴ E为FG的中点.又CE⊥FG,∴ FC=GC.∴ ∠CFE=∠G.∴ ∠AFE=∠EFC.又△AEF与△EFC均为五角三角形,∴ △AEF∽△EFC.
(2)①存在.如果∠BCF=∠AEF,即k=23=BCAB时,△AEF∽△BCF.证:当23=BCAB时,3=DEDC.∴ ∠ECG=30°.∴ ∠ECG=∠ECF=∠AEF=30°,∴ ∠BCF=90°-60°=30°.又△AEF和△BCF均为直角三角形.∴ △AEF∽△BCF. ②因为EF不平行于BC,∴ ∠BCF≠∠AFE.∴ 不存在第二种相似情况.
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