求微分方程dy/dx+y/x=sinx/x满足初始条件y | (x=n)=1的特解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 15:31:31
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求微分方程dy/dx+y/x=sinx/x满足初始条件y | (x=n)=1的特解
求微分方程dy/dx+y/x=sinx/x满足初始条件y | (x=n)=1的特解
求微分方程dy/dx+y/x=sinx/x满足初始条件y | (x=n)=1的特解
变量代换:y=z/x
d(z/x)/dx+z/x^2=sinx/x
dz/dx=sinx
z=-cosx+C
代入可得
y=-cosx/x+C/x
代入初值
1=-cosn/n+C/n
C=n+cosn
y=-cosx/x+(n+cosn)/x
两边同乘以x,得xdy/dx+y=sinx。
定义新变量u=xy,则du=xdy+ydx,所以du/dx=xdy/dx+y,恰为上面方程的左边。所以方程成为
du/dx=sinx,
易解得u=-cosx+C,
所以y=u/x=-cosx/x+C/x,C为任意常数。
代入初始条件y|{x=n}=1,得1=-cos(n)/n+C/n,所以C=n+cos(n),代...
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两边同乘以x,得xdy/dx+y=sinx。
定义新变量u=xy,则du=xdy+ydx,所以du/dx=xdy/dx+y,恰为上面方程的左边。所以方程成为
du/dx=sinx,
易解得u=-cosx+C,
所以y=u/x=-cosx/x+C/x,C为任意常数。
代入初始条件y|{x=n}=1,得1=-cos(n)/n+C/n,所以C=n+cos(n),代入通解即得所求特解
y=-cosx/x+[n+cos(n)]/x
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