已知等比数列an的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和:求证Sn+1/Sn≤3n+1/nRT 或者这题应该是2011年江苏省13个市 高三第一次或者第二次模拟的附加题
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 05:11:17
![已知等比数列an的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和:求证Sn+1/Sn≤3n+1/nRT 或者这题应该是2011年江苏省13个市 高三第一次或者第二次模拟的附加题](/uploads/image/z/1741077-45-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97an%E7%9A%84%E9%A6%96%E9%A1%B9a1%3D2%2C%E5%85%AC%E6%AF%94q%3D3%2CSn%E6%98%AF%E5%AE%83%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C%3A%E6%B1%82%E8%AF%81Sn%2B1%2FSn%E2%89%A43n%2B1%2FnRT+%E6%88%96%E8%80%85%E8%BF%99%E9%A2%98%E5%BA%94%E8%AF%A5%E6%98%AF2011%E5%B9%B4%E6%B1%9F%E8%8B%8F%E7%9C%8113%E4%B8%AA%E5%B8%82+%E9%AB%98%E4%B8%89%E7%AC%AC%E4%B8%80%E6%AC%A1%E6%88%96%E8%80%85%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%A8%A1%E6%8B%9F%E7%9A%84%E9%99%84%E5%8A%A0%E9%A2%98)
已知等比数列an的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和:求证Sn+1/Sn≤3n+1/nRT 或者这题应该是2011年江苏省13个市 高三第一次或者第二次模拟的附加题
已知等比数列an的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和:求证Sn+1/Sn≤3n+1/n
RT 或者这题应该是2011年江苏省13个市 高三第一次或者第二次模拟的附加题
已知等比数列an的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和:求证Sn+1/Sn≤3n+1/nRT 或者这题应该是2011年江苏省13个市 高三第一次或者第二次模拟的附加题
证:
a1=2 q=3
Sn=2(3^n-1)/(3-1)=3^n-1
Sn+1=2[3^(n+1)-1]/(3-1)=3^(n+1)-1
Sn+1/Sn=[3^(n+1)-1]/(3^n-1)
=[3^(n+1)-3+2]/(3^n-1)
=3+2/(3^n-1)
3+2/(3^n-1)-(3n+1)/n
=2/(3^n-1)-1/n
=(2n-3^n+1)/[n(3^n-1)]
2n+1和3^n均单调递增,令2n+1=3^n,解得n=1
当n>1时,恒有2n+1
是否求证Sn+1/Sn≤(3n+1)/n ?
根据题意:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=2(1-3^n)(1-3)=3^n-1,
∴ Sn+1=3^(n+1)-1,
∴ Sn+1/Sn=[3^(n+1)-1]/(3^n-1)
=(3*3^n-3+2)/(3^n-1)=[3(3^n-1)+2]/(3^n-1)=3+2/(3^n-1);
∴ Sn...
全部展开
是否求证Sn+1/Sn≤(3n+1)/n ?
根据题意:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=2(1-3^n)(1-3)=3^n-1,
∴ Sn+1=3^(n+1)-1,
∴ Sn+1/Sn=[3^(n+1)-1]/(3^n-1)
=(3*3^n-3+2)/(3^n-1)=[3(3^n-1)+2]/(3^n-1)=3+2/(3^n-1);
∴ Sn+1/Sn=3+2/(3^n-1) ......(1)
要证明Sn+1/Sn≤(3n+1)/n ......(2)
即要证明3+2/(3^n-1)≤(3n+1)/n =3+1/n...(3)
(3)式等价于2/(3^n-1)≤1/n <=>3^n-2n-1≥0 (4)
其中n≥1,n属于N
设函数f(x)=3^x-2x-1 , x≥1 ; (5)
求导得:f'(x)=3^xln3-2> 3^xlne-2=3^x-2f'(x)> 3-2=1>0
f'(x)> 0
f(x)为单调增函数,
∴ 当x≥1时,f(x)≥f(1)=3^1-2*1-1=3-2-1=0
即f(x)=3^x-2x-1 ≥0
当x=n≥1,式 (4)成立,
由式(3)、(2)倒推(等价式),证明
Sn+1/Sn=3+2/(3^n-1) 成立。
收起