定义在R上的任意一个函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,已知f(x)=lg(10^x+1)求g(x)和h(x)的解析式.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 20:32:16
![定义在R上的任意一个函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,已知f(x)=lg(10^x+1)求g(x)和h(x)的解析式.](/uploads/image/z/1627459-43-9.jpg?t=%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E9%83%BD%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0g%28x%29%E5%92%8C%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B0h%28x%29%E4%B9%8B%E5%92%8C%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dlg%EF%BC%8810%5Ex%2B1%EF%BC%89%E6%B1%82g%28x%29%E5%92%8Ch%EF%BC%88x%EF%BC%89%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F.)
定义在R上的任意一个函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,已知f(x)=lg(10^x+1)求g(x)和h(x)的解析式.
定义在R上的任意一个函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,已知f(x)=lg(10^x+1)
求g(x)和h(x)的解析式.
定义在R上的任意一个函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,已知f(x)=lg(10^x+1)求g(x)和h(x)的解析式.
数学之美团为你解答
根据题意:f(x)=g(x)+h(x)=lg(10^x+1) (1)
而g(x)是奇函数,h(x)是偶函数
因为:f(x)=lg(10^x+1),所以f(-x)=-g(x)+h(x)=lg(10^(-x)+1) =lg((10^x+1)/10^x)=lg(10^x+1)-x (2)
(1)-(2)得:2g(x)=x,即:g(x)=x/2
(1)+(2)得:2h(x)=2lg(10^x+1)-x,即:h(x)=lg(10^x+1)-x/2
令f(x)=g(x)+h(x), g(x)为奇函数,h(x)为偶函数
则有f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)
两式相加再除以2得:h(x)=[f(x)+f(-x)]/2=[lg(10^x+1)+lg(10^(-x)+1)]/2=0.5lg(2+10^x+1/10^x)
两式相减再除以2得:g(x)=[f(x)-f(-x)]/2=[lg(10^x+1)-lg(10^(-x)+1)]/2=0.5lg[(10^x+1)/(10^(-x)+1)]=0.5lg10^x=0.5x
g(x)=(f(x)-f(-x))/2 ,h(x)=(f(x)+f(-x))/2,这个曾经是95年的全国卷高考题!