设三角形ABC内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=3c/5.(2)求tan(A-B)的最大值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 23:53:19
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设三角形ABC内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=3c/5.(2)求tan(A-B)的最大值
设三角形ABC内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=3c/5.
(2)求tan(A-B)的最大值
设三角形ABC内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=3c/5.(2)求tan(A-B)的最大值
acosB-bsinA=3/5c 两边都除以2R
可化为sinAcosB-sinBcosA=3/5sinC
又sinC=sin(A+B)===>sinAcosB-sinBcosA=3/5(sinAcosB+sinBcosA)
∴可化为tanA=4tanB
∴tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)=3/[(1/tanB)+4tanB]
当1/tanB=4tanB====>tanB=1/2时取得最大值
∴tan(A-B)的最大值=3/4
acosB-bcosA=(3/5)c
由正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
得: a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC
即: ksinAcosB-ksinBcosA=(3/5)ksinC,∠C=π-(∠A+∠B)
<=> sinAcosB-sinBcosA=(3/5)sin[π-(A+B)]
<=> sinAcosB-s...
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acosB-bcosA=(3/5)c
由正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
得: a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC
即: ksinAcosB-ksinBcosA=(3/5)ksinC,∠C=π-(∠A+∠B)
<=> sinAcosB-sinBcosA=(3/5)sin[π-(A+B)]
<=> sinAcosB-sinBcosA=(3/5)sin(A+B)
<=> sinAcosB-sinBcosA=(3/5)sinAcosB+(3/5)sinBcosA
<=> (2/5)sinAcosB=(8/5)sinBcosA
<=> sinA/cosA=4sinB/cosB
<=> tanA=4tanB
tanA/tanB=4
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)=3tanB/(1+4(tanB)^2)
=3/[1/tanB+4tanB]
<=3/[2根号(1/tanB*4tanB)]
=3/4.
当1/tanB=4tanB时,即tanB=1/2时,取"=".
即最大值是3/4.
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