已知点P是抛物线y^2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,PA+PM的最小值是?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 04:57:37
![已知点P是抛物线y^2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,PA+PM的最小值是?](/uploads/image/z/1577350-46-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%82%B9P%E6%98%AF%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy%5E2%3D4x%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E7%82%B9P%E5%9C%A8y%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%B0%84%E5%BD%B1%E6%98%AFM%2C%E7%82%B9A%E7%9A%84%E5%9D%90%E6%A0%87%E6%98%AF%284%2Ca%29%2C%E5%88%99%E5%BD%93%7Ca%7C%3E4%E6%97%B6%2CPA%2BPM%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E6%98%AF%3F)
已知点P是抛物线y^2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,PA+PM的最小值是?
已知点P是抛物线y^2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,PA+PM的最小值是?
已知点P是抛物线y^2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,PA+PM的最小值是?
首先,当x=4时,代入抛物线方程y^=4x,求得|y|=4
而|a|>4,说明A(4,a)是在抛物线之外(也就是在抛物线位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方)
抛物线焦点可求得是F(1,0),准线L:x=-1
P在y轴上的射影是M,说明PM⊥y轴,延长PM交L:x=-1于点N,必有:
|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1
|PN|就是P到准线L:x=-1的距离!
连接PF
根据抛物线的定义,可知:抛物线上的点P到准线x=-1的距离等于其到焦点F(1,0)的距离!即:|PF|=|PN|
∴|PM|=|PF|-1
|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1
只需求出|PF|+|PA|的最小值即可:
连接|AF|
由于A在抛物线之外,可由图像的几何位置判断出:AF必与抛物线交于一点,设此点为P'
1°当P与P'不重合时:A,P,F三点必不共线,三点构成一个三角形APF,根据三角形“两边之和大于第三边”的性质,可得:
|PF|+|PA|>|AF|=√[(4-1)^+(a-0)^=√(a^+9)
2°当P与P'重合时,A,P(P'),F三点共线,根据几何关系有:
|PF|+|PA|=|AF|=√(a^+9)
综合1°,2°两种情况可得:
|PF|+|PA|≥√(a^+9)
∴(|PF|+|PA|)min=√(a^+9)
(|PA|+|PM|)min=√(a^+9) -1